§ 6. Теорема об определителе произведения матриц

Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей:

&еіАВ = &еїАа\е\В,   АєМ1',   В є АР. (1)

Мы дадим два различных8 доказательства этой фундаменталь­ной теоремы.

Первый способ. Прямое доказательство. Пусть С = ЛВ. Тогда Су = аіф^. Для АеіС запишем выражение в виде суммы п\ мономов, упорядоченных по первому значку:

сЫС = 53е(^)сЪ1 ...с^„. а

Здесь суммирование ведется по всем перестановкам 3 — О'ь ■ • • , }п) чисел 1,2,..., п.  Подставляя вместо элементов их выражения, получим

= Ц Є(У)[ X аіАиі ) ( X а2Агл ) • • • ( X а^пі>кіп І

а \і--1 /   \а=1 /        \п=1 /

п

.у-О'і.....^)       і.....п=і

Во внутренней сумме индексы к\,... ,кп могут принимать и совпадающие значения, в то время как во внешней сумме

значения всех индексов 71,72____различны. Меняя порядок

суммирования, найдем:

я

АаХС -    52 «1*102*2

*!....= !

п

*1.....*„-1

где

5*1,*2.....** =       52      е(-?)Ьки1Ькгп ■ ■ -ЬКк- (3)

Поменяем в (3) какие-либо два из индексов к[,к2.....кп ме­стами. В выражении (3) это соответствует перестановке двух соответствующих сомножителей вида Ък,}, местами. Иначе

говоря, над перестановкой 3 — ----]п) совершается одна

транспозиция. В результате каждое слагаемое в (3) изменит знак. Таким образом, получаем, что перестановка местами каких-либо двух из индексов ки..., кп приводит к измене­нию знака у суммы (3). Отсюда следует, что Бк, *2,....*„ = О, если среди индексов к],..., кп найдутся одинаковые. Все это позволяет в выражении (2) заменить суммирование по неза­висимо меняющимся индексам к....., А;п на суммирование по

перестановкам К. = (к\...., кп):

detC =

= 52 о"->• • • ^ 52 £(^)6*и1   ■ ■ ■ к ы

ки*1 ,...,*„) 3=(з\.....л,) (4)

=   52       а2*2 • ■ • апк„   52 е(к,а)ьк[Мьк^...ъ^.

£=(*,,...,*„) .....Л.)

В последней выкладке использовано, что Е(/С)е(/С, 3) — е2(К)е(3) = е(3). Внутренняя сумма в правой части (4) есть

• • • «п*,..    52    £№)Ьь>м      ■ ■ ■ ьКзп

• • • апк„ 5д-, ,к2.....*„,с1е1 В. Таким образом,

ск^ С =       52    £{^)а1к,а2к.г ■ ■ ■ апкп ) «еЧ В = det, А ве! В.

ус=(*1.....*,■) /

что совпадает с (1). •

2. Линейные и полилинейные формы. В этом пункте мы подготовим материал для второго способа доказательства теоремы 1. Этот материал представляет и самостоятельный интерес.

Линейной формой от п комплексных переменных х\,..., хп называют линейную однородную функцию этих переменных. Произвольная линейная форма Ф переменных жь ..., хп имеет вид

Здесь набор х-1,... ,хп отождествлен с вектором х £ С" вида

(3.1), а числа <£"ь____Ч'п (коэффициенты формы) фиксированы.

Подставляя в (5) х = е*, где е^ — орт (3.3), получим:

Ф{ек)=щ.   к = \.....п. (6)

Таким образом, форма (5) полностью определяется своими зна­чениями на ортах. Если заданы две формы Ф и Ф, то для их равенства на всех х € С", необходимо и достаточно выполнения п равенств

ФЫ = *(е*),   * = 1....,». (7)

Пусть теперь хнх-2 6 С" и форма Ф = Ф(хьХ2) линейна по XI и хг порознь. Форма Ф тогда называется 2-формой. Ис­пользуя разложение (3.4) для XI и х2, находим, что фор­ма Ф(х,,х2) полностью определяется значениями п2 чисел Ф(ек1Гек2), к\чкч = 1, ...,п. Аналогично определяются формы более высоких порядков (полилинейные формы). Особое зна­чение для нас имеют п-формы Ф(х1.....х„).   Очевидно, две

п-формы Ф, Ф совпадают тогда и только тогда, когда выполнено п" равенств

Ф{ек],ек2,...,еК) = Ф(ек1,е*2,...,екп), к\,к2,... ,кп — 1,... , и.

Совокупность равенств (8) сводится к всего лишь одному ра­венству, если п-формы Ф. Ф полностью антисимметричны, т.е.   меняют знак при перестановке любой пары аргументов

XI.....х„. Справедлива

Теорема 2. Две полностью антисимметричные п-формы Ф и Ф совпадают тогда и только тогда, когда

Ф(вь...,вп) = Ф(е1,...,в„). (9)

Доказательство. Если среди индексов к\,... ,кп в (8) есть совпадающие, то, очевидно, обе части равны нулю. Таким образом, достаточно считать, что индексы кг,... ,кп в (8) обра­зуют перестановку К. = {к\,к,2.....кп). Переводя ее транспо­зициями в тождественную перестановку (1,2.....п), мы при­ведем (8) к (9). •

Исходя из теоремы 2, можно дать явное описание всех полностью антисимметричных п-форм. При этом нам сейчас удобно записывать аргументы в виде столбцов а!,..., а„ (см. (3.6)), объединяя их в матрицу А (см. (3.7)). Таким образом, станем писать Ф[А) = Ф(в[____.а,,).

Теорема 3. Пусть Ф(А) — полностью антисимметрич­ная п-форма относительно столбцов матрицы А. Тогда

Ф(А) = (аеМ)Ф(/). (10)

Доказательство. Величина с1е! А линейно зависит от ка­ждого из столбцов а!____,а„ (см. формулы (6.62)), т.е. является

п -формой. Она полностью антисимметрична (см. свойство 6 в §5). В силу теоремы 2 достаточно проверить (10) при А = I. Но тогда (10), очевидно, выполнено в силу равенства ае!;7 = 1. •

3. Второе доказательство теоремы 1 {метод п-форм). Чтобы не менять обозначений, установим (1) в эквивалентной форме:

с!е1 А АеЬ В = А& В А. (11)

Будем считать матрицу В фиксированной. Очевидно, левая часть в (11) — полностью антисимметричная п-форма относи­тельно столбцов матрицы А. Проверим, что то же верно и дляправой части. Обозначим через Ь', строки матрицы В. Ясно, что тогда последовательные

В А =

Ь2в1 Ы.

(12)

 

К

Из представления (12) непосредственно ясно, что <1сЪВА есть п-форма относительно векторов а,.,....а„.   Ясно также, что

перемена местами любых двух векторов из набора ат.....а„

приводит к транспозиции двух соответствующих столбцов в определителе (12). Таким образом, п-форма detBA полностью антисимметрична. В силу теоремы 2, достаточно проверить (11) при А = 1. Но при А — I соотношение (11) очевидно. •