§ 5. Определители

1. Определение. Мы уже встречались с определителями второго и третьего порядка в курсе аналитической геометрии. Аналогичным образом определители вводятся для квадрат­ных матриц любого порядка. Они играют существенную роль при исследовании систем линейных уравнений, при изучении свойств линейных преобразований координатных пространств и в ряде других вопросов алгебры и анализа.

Пусть А 6 Мп, т.е.

А = / «п   аГг   ■ ■ ■   а1п \

021     022    • - ' «2п

V Опх   аП2   ■•■   апп /

Мономом называется произведение и элементов матрицы А, в которое входит по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца. Моном имеет вид

^и.0!;^ • • • а*п]п = а1*1 и2*2 • ■ ■ Опкп — Сг,1«^2 • • ■ Щпп- (1)

Среди первых индексов г1.....нет одинаковых, т.е. эти ин­дексы образуют перестановку; то же относится ко вторым индексам ^1____, зп. Далее, мы воспользовались тем, что сомно­жители в произведении можно переставлять местами, причем можно добиться упорядочения или по первым значкам, или по вторым. Впрочем, можно и не стремиться к такому упорядо­чению (см. первое выражение в (1)). Ясно, что каждый моном определяется некоторой подстановкой а е Тп:

ц..... *,Л _ ( 1..... п \ • ■ •'

3\..... Зп)     \к\..... кп)     V1- "

Различных мономов столько, сколько различных подстановок, т.е. п!. Условимся обозначать моном коротко через (а)а:

(а)е = а^,щ2к ... о,,,^,   а = ( ''}'■   " ''       ) = (1.3). (2)

Каждому моному (2) припишем знак е(ст) и составим сумму всех полученных п! слагаемых вида е((т)(а)„. Получившаяся величина (число) называется определителем (или детерми­нантом) матрицы А и обозначается через А:

<1еЬА = ]Г е{а)(а)„. (3)

Например, при п = 2       А = «п«22 ~ а12«2ь при а = 3

А = аца21а^ + а.12023«31 + «1зй21 а32—

-«13«22«31 - «12«21«33 - «11«23«32,

что совпадает с уже известными нам определениями. (При выписывании членов мы упорядочили произведения по перво­му значку). Для обозначения определителя пользуются также более подробным символом

с!е! А =

ОЦ «12 • • • «1л «21     «22     " ' ' «2п

«п1    «л2    • ' • «ял

2. Свойства определителей. Прямое вычисление и ис­следование определителей на основании определения (3) не вполне удобно, так как с ростом п число слагаемых быстро растет. Поэтому мы обсудим свойства определителей, позво­ляющие упростить их исследование и вычисление.

1. При замене строк и столбцов ролями определитель матрицы не меняется. Иначе говоря,

Доказательство. Действительно, АеЬА и detAt, очевидно, со­ставлены из одних и тех же мономов. При этом, если в сЫ А моном (2) входит со знаком подстановки

то в сЫ А1 этот же моном входит со знаком подстановки

что соответствует перемене ролей номеров строк и столбцов. Так как е(<г) — е(а~1), то суммы (3) для йеїА и сЫ; А' состоят из одних и тех же слагаемых. •

Отметим равенство, которое прямо вытекает из (5):

В дальнейшем можно все свойства формулировать и доказы­вать только для строк (или только для столбцов).

2. Определитель с!е1 А есть линейная однородная функ­ция элементов фиксированной строки (столбца).

Доказательство. В каждый моном входит ровно один со­множитель из г-ой строки. Соберем все члены суммы (3), содержащие элемент а^; вынесем за скобки, коэффициент при нем обозначим через А^. Тогда сумма выделенных членов имеет вид ауЛу. Если мы (при фиксированном <) будем менять

<3^ А1 = А.

 

 

 

АеЛ А*

Леі А.

j от 1 до п, то в итоге переберем в точности все слагаемые, входящие в (3). Тот же результат получится, если мы при фиксированном j будем менять г от 1 до п. В результате мы приходим к равенствам

п

det А = ^^dijAij,   * = 1, ...,n, (6i)

п

det А =      aijAij.  j — l,...,n. (62)

i=J

Формулы (6i) (соответственно, (G2)) и означают, что det Л есть линейная однородная функция элементов i-ой строки (соот­ветственно, 7-ого столбца). •

Формулы (6) представляют собой 2/i различных формул для вычисления определителя. Формула (6i) дает разложение по элементам i-ой строки, формула (62) — по элементам j-го столбца. Формулы (6) приобретут практический смысл, если мы найдем удобный способ вычисления коэффициентов Aij. Это будет сделано в п. 3. Коэффициент А13 называют алгебраическим дополнением элемента щ} матрицы А.

Пример. Разложить определитель третьего порядка по элементам второй строки. Группируя члены в (4), получаем:

det А =

«2i(ai:i«32 - «12«зз) + «22(«п«зя - Oi3a31) + <Х2з(«12«з1 ~ «н^лг)-

(7)

3. Определитель матрицы, имеющей строку (столбец), состоящую сплошь из нулей, равен нулю.

Это сразу следует из (6).

4. Следующее свойство (правило сложения), выражаемое формулой

«11 «12 - ' ' «1л

«т! + «а   a« + аа   • ■ ■   а;„ + ain

ап2

«;і «і2

«пі «п2

«іп

+

«11 «12

а;і «і2

«1п

«іп

(8)

«пп «пі «п2

также облегчает вычисление определителей. В формуле (8) все строки, кроме г'-ой, одинаковы для всех трех определителей.

Для доказательства надо разложить определители по і-ой строке (см. (6і)). Коэффициенты Ац при элементах г-ой строки не содержат в себе элементов этой строки. Поэтому коэффициенты Аі^ во всех трех определителях в (8) одни и те же. Имеем:

53 («ц + «о'Мч = 53 'ЧіАіі + X!^ Аі>- *

;=і

Упражнение. Сформулируйте и проверьте аналогичное правило сложения для выделенного столбца определителя.

5. Из элементов строки (столбца) определителя можно выносить общий множитель:

«и

«12 •

• «ш

 

«и

«12 •

■ «1п

аап

««І2 ■

■ ащп

= а

«л

«І2 ■

• «іп

ап\

«гс2 ■

«пп

 

Оті!

ап2

«тт

(9)

Эта формула также прямо следует из (6(). Из (9), в свою очередь, получаем

сіеі (аА) =

аау\   ааі2   ■•• «еі|П

аа.Л    па а

попх   аа„2   ■ ■ ■ аа„

«11 «12

ац «;2

«я 1 «тг2

«1пто есть

det (аА) = о-"det А. (10)

6. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Доказательство. Пусть для определенности переставлены местами fc-ый и /-ый столбцы матрицы А. Полученную матри­цу обозначим через А. Произведения (мономы) (2), входящие в det А, при этом останутся теми же. Однако знак при каждом мономе будет уже определяться не прежней подстановкой

«„у

\Jb JnJ

а подстановкой а, которая получается из а одной транспо­зицией в нижней строке: номера у\ и j; должны поменяться местами. Так как при этом знак <т, очевидно, противоположен знаку а, т.е. е(а) — —е(о-), то все члены в сумме вида (3) для det А отличаются знаком от соответствующих членов для det А.

7. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Если мы переставим эти строки места­ми, то определитель должен изменить знак. Однако матрица (и определитель) не изменится. Поэтому det А = —det А, а следовательно, det А = 0. •

8. Если две строки (два столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Это сразу же следует из свойств 5 и 7.

9. Определитель не изменится, если к какой-нибудь его строке прибавить какую-либо линейную комбинацию остальных строк. (Аналогично и для столбцов.)

Доказательство. Пусть, например, к г-ой строке приба­влены остальные строки, умноженные соответственно на числа

а\.....____а„. (При этом сами эти строки на своих

местах остаются без изменений.) Тогда в <-ой строке на j-ом месте будет стоять элемент

Uij + 4- ... + Ui_iai_i j 4- «i+1u;+ij 4- ... 4- <T!,„anj.

Применяя формулу (8) несколько раз, представим этот опре­делитель в виде суммы п определителей, причем первое сла­гаемое есть с1е1 А, а остальные слагаемые представляют собой определители с двумя пропорциональными строками. Такие определители равны нулю. •

3. Миноры и алгебраические дополнения. Пусть в ма­трице А 6 Мп вычеркнуты г-ая строка и _?'-ый столбец. Опре­делитель оставшейся матрицы порядка п — 1 обозначим через

Ми:

«п аи ■■■ а а21   а22   ■ ■ • а

\]   ■ ■ ■ "\п

 

 

 

1у   ■ ■ ' в>Ьп

«та   «п2   ■■• «

Я1)   ' «пп

Определитель называют минором, отвечающим элементу Щу Мы покажем, что коэффициенты А^ (алгебраические до­полнения) в разложениях (6) определителя с1е1 А по элементам к'-ой строки или 7-ого столбца выражаются через миноры по формуле

М, = {-1У+3Мц. (п)

Тем самым, формулы (6) сводят вычисление АеЬА к вычисле­нию определителей меньшего порядка.

Доказательство формулы (11). Установим сначала, что Апп = Мпп. Все мономы, содержащие апп, имеют вид

«1м«2г.2 ' * • «7з—     _ 10-7773, (12)

где (/ь «2,... ,г„„1) — произвольная перестановка индексов 1,2,..., п — 1. Знак при этом мономе определяется знаком е(гт) подстановки

( \.   2,   ....   п-1.   тЛ ,_, о =    .     . . ) С Р„.

Ясно, что £(<х) — е(т), где

Действительно, число инверсий в нижних строках подстановок а и т одинаково. Сумма всех мономов вида (12) есть (hmAnn, где алгебраическое дополнение Апп имеет вид

Ап„ =   J!   £(Т)аН,«2/, ■• -Oji-I,^ ,.

Правая часть по определению есть детерминант матрицы по­рядка п — 1, стоящей в верхнем левом углу матрицы А. Итак,

Ann Мпп-

Пусть теперь выделен элемент Переставим строки

матрицы А последовательно так, чтобы г'-ая строка стала по­следней, а остальные шли в "правильном" порядке. На это уйдет п — i перестановок. Затем j'-ый столбец также пере­ставим на последнее место (еще п — j перестановок). В но­вом определителе элемент ciij займет место в правом нижнем углу, а его минор останется неизменным, т.к. остальные строки и столбцы стоят в прежнем порядке. Нужно учесть, что новый определитель отличается от старого множителем (-l)2n~i—' _ (—1)T+J. Одновременно и алгебраическое дополне­ние выделенного элемента в новом определителе отличается от старого тем же множителем. Тогда (11) следует из уже полученного соотношения Ап.п = Мпп. •

Рассмотрим теперь сумму

п

^jToijAbj.   кфг, (13)

т.е. будем умножать элементы строки на алгебраические до­полнения "чужой" строки. Такую сумму мы получим, если будем вычислять определитель, у которого на место /г-ой стро­ки подставлена »'-ая строка (остальные строки — те же, чтов исходной матрице). Тем самым, получаем определитель с двумя одинаковыми строками, он равен нулю. Итак, сумма (13) равна нулю. Аналогично,

Объединим этот результат с формулами (6), используя символ Кронекера. Тогда получим

УЗ aiiAkj = &ik det А.     ]Г) <ЧіАік = 6jk det A. (14)

4. Примеры вычисления определителей. Вычисление определителя упрощается, когда матрица содержит много ну­лей. Пусть, например, матрица верхнетреугольная'.

/«и an

О «22

V 0     0 •••

Тогда, раскрывая det А по элементам первого столбца, находим:

det А — а\\ «22 «23

О «зз

О О

■ «271

• «Зл

Продолжая этот процесс, получим, что det А — аи a-ii... а,т. Такая же формула получится для нижнетреугольной матри­цы. Таким образом, определитель треугольной матрицы ра­вен произведению элементов главной диагонали. В частности, det / = 1.

Вычислим теперь определитель Вандермонда порядка п +

1:

 

1

1

1

 

 

Хі

О

х\

х\ •

■ г2

•''71+1

, (15)

 

■гп х\

х\ ■

хп+ 1

 

где хЛ.х2.....хГ1+1

жем,что

какие-либо комплексные числа. Дока-

Дп+1 = Ап+1(а;ьх2.....хп+]) = ^(х, - хк).

(16)

Если среди X], ж2,..., хп+х хотя бы два числа совпадают, то определитель (15) содержит два одинаковых столбца и, следо­вательно, равен нулю. Формула (16) в этом случае очевидна. Поэтому можно считать, что среди чисел хі,...,х„ (без Х„+\) нет одинаковых. Рассмотрим Л„+і как функцию от перемен­ной х = х.п+х при фиксированных х,\,х2,... ,хп. Раскладывая определитель (15) по последнему столбцу, видим, что Дп+1 есть полином степени п от х:

Дп+і(з-ь • - • ,хп,х) =аг,хп + ... + а^х + а0 := Рп(х).

(17)

Коэффициент а„ при хп есть алгебраическое дополнение ^п+1,п-г1 элемента хп, стоящего в правом нижнем углу опреде­лителя. Очевидно,

От, =

ХЛ 1

-Г-2 Г2

х2

хГ1 х'Г[

1 (18)

является определителем Вандермонда порядка п. Как уже отмечалось, при х = х,, ] = 1.....п, определитель равен нулю,то есть числа х\,... ,хп суть корни многочлена Рп. Выпишем разложение Рп на множители,

Рп(х) - ап{х - хі)(іс - х2) ... (х - хп). (19)

Учитывая (17), (18), получаем рекуррентную формулу

А„+і = (хп+ї - хі)(хп+1 - х2) ■ ■ ■ (хп+і - хп)Ап. (20)

Применяя формулу (20) последовательно п раз и учитывая, что Ді = 1, получаем (16).