§ 3. Одностолбцовые матрицы. Координатные пространства. Линейные отображения

1. Одностолбцовую матрицу х є МпЛ можно записать в

виде

( Хп \ 17

Поскольку второй индекс в этом случае не несет информации, его принято опускать, и матрицу х записывают так:

(1)

Сложение и умножение на число одностолбцовых матриц про­изводится покомпонентно:

ах + /Зу =

( ахл + Рух ах2 4- (Зу2

\ ахп + (Зуп

(2)

что соответствует общим определениям (1.3) и (1.4). При п = 3 эти операции формально совпадают с правилами сложения и умножения на число векторов (в трехмерном пространстве), заданных координатами в каком-либо базисе. В силу это­го одностолбцовые матрицы тоже называют векторами (п-мерными), а множество всех векторов вида (1) — коорди­натным пространством размерности п. Вместо обозначе­ния МпД будем пользоваться для координатного пространства стандартным обозначением К" в вещественном случае и С" — в комплексном. Формула (2) задает в Ж" (или в Сп) действия сложения векторов и умножения их на число. При этом для х є К" допускается умножение лишь на вещественные числа, а для х£С" — на комплексные. Пространство К1 естественно отождествляется с множеством М всех вещественных чисел, пространство С1 — с множеством С всех комплексных чисел. Вектора

О

1

О

е2

(3)

\1/назовем стандартными ортами в Е". Набор (3) стандартных ортов образует (стандартный) базис в К" в том смысле, что для любого вектора (1) справедливо представление

х = я,е1 + х-2е2 + ... + хпеп. (4)

Ясно, что коэффициенты хь...,хп в сумме (4) определяются единственным образом и совпадают с координатами столбца (1).

2. Линейные отображения. Теперь мы свяжем понятие матрицы с понятием линейного отображения . Если каждому элементу х £ К" поставлен в соответствие некоторый элемент у € К", то говорят, что задано отображение (пребразование) К" в Е"\ Если А — такое отображение, то пишут А : Е" -» К"' и у = Ах.- Отображение А называют линейным, если для любых х. ъ £ К" и любых вещественных чисел а, (1 справедливо равенство

А(ах + (Зъ) = схАх + /ЗАг. (5)

Пусть задана вещественная матрица А £ Мтп и х € К". Тогда имеет смысл произведение Ах € МтЛ — Мт. Другими словами, матрица А класса Мт-п задает отображение коор­динатного пространства М" в пространство Ет. При этом мы считаем матрицу А фиксированной, а столбец х £ Е" — ар­гументом, пробегающим все пространство К". Ясно, что дей­ствие матрицы А на векторы удовлетворяет условию (5). Это прямо следует из формулы (1.12). Таким образом, всякая ве­щественная матрица А £ А/"1-" задает линейное отображение А : К" —» Жт. В свою очередь, верно следующее утверждение.

Предложение 1. Всякое линейное отображение Е" в Е"' задается некоторой матрицей класса Мт'п, и при этом только одной.

Доказательство. Действительно, пусть А : К" —> Ш"' — линейное отображение. Рассмотрим в 1йт векторы ах --Ле\,...,а„ = Леп, где орты е),...,е„ определены в (3), и запи­шем их в виде столбцов:

021 ( Піп \ \Отп/ (6)

Введем в рассмотрение матрицу А = {ау} є Л/"'". Тогда, в соответствии с (4),

Ах — 53 ХкАек = УЗд*а*'

і=1

А:=1

или, в координатной записи,

Ах =

апхх + ... + аХпхп \ а2іхі + ... 4- агг,х-п

. аг„\Х\ + ■ ■ ■ + а,,тя-п '

Мы видим, таким образом, что Ах = Ах. Единственность

матрицы А следует из того, что векторы Ае\.....Аеп очевидно

совпадают со столбцами матрицы А:

А= (аі,а2,...,а„).

(7)

Подобным же образом комплексная матрица класса Мт,п определяет линейное отображение С" в Ст. При атом в (5) а и (3 — любые комплексные числа.

С точки зрения линейных отображений определения дей­ствий над матрицами оказываются совершенно естественны­ми. Ниже (обычно без оговорок) будем рассматривать только линейные отображения.   Пусть А : 2Г -> Кт, В : М" -» ЖТ"

— два отображения. Их суммой называется отображение С : Ж1 —» Кт, действующее по формуле

у = Сх = Ах + Вх,   х£Шп. (8)

Если теперь отображение А задано матрицей А е Мт'п, а отображение В задано матрицей В е Мт'п, то, в соответствии с формулой (1.10), можно записать (8) в виде

у = Сх = {А + В)х. (9)

Сопоставление (8) и (9) показывает, что сумма матриц С — А + В определяет сумму С соответствующих отображений.

Пусть А : Ж" —» Мт - отображение, о 6 Ж. Произведением отображения А на число а называется отображение Т>: Жп —> Мт, действующее по формуле

у = Ш = а(Ах), хей". (10)

Если отображение А задано матрицей А € Л/™'", то, в соответ­ствии с формулой (1.11), можно записать (10) в виде

у = Т>х = (аА)х. (11)

Сопоставление (10) и (11) показывает, что матрица = «А определяет произведение отображения А на число а.

Пусть теперь А : К" -» Мт, В : Кт — Мр — два отображе­ния. Их композицией называется отображение Т : К" —» Кр, заданное формулой

у = .Рх = В(Лх),   х£Г. (12)

Если отображение А задано матрицей А € Мт,п, а отображение В — матрицей В € Мр-т, то, в соответствии с формулой (1.13), можно записать (12) в виде

у = Рх = (ВА)х,   х£К\ (13)Таким образом, произведение матриц Р = В А € Мр" опреде­ляет композицию соответствующих отображений.

Мы видим, что действия сложения, умножения на число и умножения матриц введены так, чтобы они порождали сумму соответствующих линейных отображений, произведение ото­бражения на число и композицию отображений. Этим объяс­няется целесообразность формально введенных в § 1 действий над матрицами.

Упражнения.

1. Если х € М", то транспонированная матрица х' есть матрица-строка х' = (х]. ■ • •, хп). Пусть В £ М",р. Проверьте, что х'В есть также матрица-строка; какова длина этой строки?

2. Если х и у — векторы из М", то х'у £ К1 - К, ух' £ М". Выпишите явные формулы для числа х'у и для элементов матрицы ух*.

3. Если х,у,г £ К", то = (ух')г — также вектор из К". Покажите, что \у = ау и найдите число а.

3. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему т уравнений с п неизвест­ными

'   апхЛ + а12х2 -\----+ аыхп = ^

^    а2]Х) + а22х2 -\----+ а2пхп = /2

. «т1^1 + ат2х2 -\-----1- атпхп = /т

Будем рассматривать х\,..., хп как координаты неизвестного вектора х £ К", /ь .. -, /щ — как координаты известного векто­ра Г € Кт. Пусть А = {Щк}\^и.. т — матрица коэффициентов; ясно, что А € Мш'п. Тогда систему (14) можно (и удобно) записать в виде одного матричного уравнения

Ах = 1 (15)

Матрица А задает линейное отображение А : К" —* Мт. Ре­шить систему — значит для заданного вектора { £ Жт найти вектор х £ М", удовлетворяющий (15). Иными словами, необ­ходимо найти прообраз вектора Г при отображении А. Система (15) разрешима тогда и только тогда, когда такой прообразсуществует (хотя бы один). В полезности и содержательности такой точки зрения на систему (14) мы неоднократно убедимся в дальнейшем.