§ 2. Квадратные матрицы. След матрицы

1. Класс квадратных матриц. Рассмотрим матрицы клас­са Мп,п (этот класс будем более коротко обозначать через М"), то есть квадратные (п х гс)-матрицы. К таким матрицам при­менимы все введенные выше действия над матрицами, причем в результате снова получаются матрицы класса Мп. Особую роль в классе Мп играют нулевая матрица О и единичная матрица

Иногда для I будем пользоваться обозначением 1 — 1п, указы­вая тем самым, что / е М". На главной диагонали единичной матрицы стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю. Элементы единичной матрицы совпадают с символом Кронеке.ра, который определяется формулами

/1 О

0\ О

О 1

/ =

\о о

1/

 

1 при г = к О   при г' ф к

Имеем: |/]ц.

Ьу,. При любых А е М" выполнено

ЪА = ЛО = С,

1А = А1 = А.

Например,

п

 

Матрица

/а О О а

О

а! =

\ О О а/класса Мп называется кратной единичной. Упражнения.

1. Пусть / — единичная матрица в М'1. Проверить, что при любом т выполнено равенство 1А — А для всех А е Мп,т и В1 — В для всех В е Мт-п.

2*. Пусть А е М'1 — произвольная (2 х 2)—матрица, А2 := АА, а. = «и +«22, /3 = «ца22 — а\.%а%\. Проверьте справедливость тождества

А2 - а А + /31 ~ 0.

2. Коммутатор и антикоммутатор. Отметим, что матрица вида а! (в том числе, единичная и нулевая матрицы) ком­мутирует с любой матрицей А € Мп. Как уже отмечалось, две произвольные матрицы А € Мп, В е ЛГ", вообще говоря, не коммутируют. гъо./ил1ут)гаторол1 матриц А и В называется матрица

[А, В] :=АВ-ВА.

Равенство [А. В] = 0 означает, что матрицы А и В коммути­руют.

Упражнение*. Если матрица А е Мп коммутирует с любой матрицей В е М", то матрица А кратна единичной. Проверьте.

Вводят также понятие антикоммутатора матриц А и В — это матрица {А, В} := АВ + В А. Если {А. В} — С1), то го­ворят, что матрицы А и В антикоммутируют. Отметим, что коммутатор и антикоммутатор линейны по каждому аргумен­ту:

[схА + ■уС, В] = «[А, В] + 7[С. В].

[А,0В + >ГС\ = 13[А,В]+1[А,С\;

{аА + 7С. В} = а{А, В} + 1{С. В},

{ А, рВ + 7<?} = /?{ А В} + 7{ Л, С}.

3. Треугольные и диагональные матрицы. Эрмитовы матрицы. В классе квадратных матриц Мп выделяют тре­угольные матрицы и диагональные матрицы Матрицу А 6 Мп называют верхнетреугольной, если — 0 при г > 3. Ниже главной диагонали в верхнетреугольной матрице стоят нули. В подробной записи такая матрица имеет вид

А =

О О

Й12 «22 О

V О о

«13 «23

а.зз О

Щп \

а-2-п

«Зл

Матрицу А б Мп называют нижнетреугольной, если «ч = О при /' < у. Если А е М" и В £ А/'4 — две верхнетреугольных матрицы, то аА+рВ и АВ также являютя верхнетреугольными матрицами. Докажите это самостоятельно в качестве упраж­нения. Аналогичный факт верен и для нижнетреугольньгх матриц. Операции транспонирования и сопряжения переводят верхнетреугольные матрицы в нижнетреугольные и наоборот.

Матрица А, которая одновременно является и верхнетре­угольной и нижнетреугольной, называется диагональной. У такой матрицы все элементы вне главной диагонали равны нулю:

/ап    0    ■••    0 \

О «22

О

7

Для диагональной матрицы используют краткое обозначение

А = (1'^{ап.а22, ■ ■ ■ ,а,т}.

Матрица а1 является диагональной. Если А £ Л/", В € А/" — диагональные матрицы, то пА + 0В, АВ, А1, А* — также диа­гональные матрицы. Более того, А' = А. Проверьте, что при умножении диагональных матриц соответствующие элементы на главной диагонали перемножаются:

[АВ]г, = а,Д,-.

Отсюда сразу следует, что две диагональные матрицы всегда коммутируют.

Еще один важный класс квадратных матриц — эрмито­вы матрицы. Матрица А £ Мп называется эрмитовой или самосопряженной, если А* — А Из определения А* следует, что элементы эрмитовой матрицы удовлетворяют соотноше­ниям aij = cTfi, i.j = 1,...,п. Это означает, что элементы на главной диагонали — вещественные, а элементы, расположен­ные симметрично относительно главной диагонали, комплексно сопряжены. Для (2 х 2)-матриц общий вид эрмитовой матрицы таков _

А=(^ а,7€К,   /3€С. (1)

4. След, Каждой матрице А £ Мп сопоставляют ее след — число, равное сумме элементов [А]ц главной диагонали ма­трицы А. Обозначение:

ТгА = ]Г[АЬ = £а,:,;.   АеАГ. (2)

i=l (=1

(Символ Тг происходит от английского слова trace — след; иногда используют обозначение Sp — от немецкого Spur). След обладает следующими свойствами.

1. Линейность следа:

Тс(аА + 0В) = «ТгА + /ЗТгВ. (3)

2. При транспонировании след не меняется:

ТгА*=ТгА. (4)

Эти свойства очевидны. Ясно также, что Тг Л* = Тг Л. Менее очевидным является следующее важное свойство.

3. След произведения не зависит от порядка сомножи­телей:

Тг АВ = Тг ВА,   А е АГ \   В е Л/П тп. (5)

Доказательство формулы (5). Вычислим сначала след матрицы АВ е АГ71.

\AB\ij = ]Р а,*Ь^.   г. •) - 1,.

*=1

т т п

Тг АВ = £][АВЬ, = X! 5] °**6и'

г- 1 1=1 к-\

Аналогично для матрицы В А е А/" имеем:

т

\BA\ij = ]Р •/,;/' = 1,..., /г,

?*      771. т п

Тг В А = £ 53 6аои = X! Е °«*«• (?)

т=1 £=1 Лг=1 1=1

Индексы г, А; в (7) — немые, поэтому их можно заменить лю­быми другими (но разными) буквами и, в частности, поменять индексы местами:  Тг ВА = агкЬы, что совпадает с

(6). •

Упражнения. 1) Пусть А е Мт-п. Проверьте, что след матрицы А* А (и след матрицы АЛ') есть сумма квадратов всех элементов матрицы Л:

= 1 Ь=1

Тг Л(Л = Тг АЛ' =^ Л Аналогично,

Тг л*л = Тг лл* = 53 53 ы2.

1=1 *=1

2) Пусть Л.В е А/п и [Л,В] = а/. Докажите, что тогда а = 0. Указание: вычислите след от обеих частей равенства.

Понятие следа будет неоднократно встречаться в дальней­ших разделах курса.

5*. Матрицы Паули. Рассмотрим комплексные (2 х 2)-матрицы

-О ч° о> ч» -0- <8>

Эти матрицы носят название матриц Паули . Условимся ну­меровать матрицы (8) индексом » "по модулю 3". Таким обра­зом, о-4 = <7Ь ст5 = (т-1 и т. п. по определению. Непосредственно проверяются свойства

<т9 = (т1,   5 = 1,2,3, (9)

то есть матрицы Паули эрмитовы;

о-2 = /,   8 = 1,2.3; (10)

я\,ег,,+1 — 1<т3+2.   я — 1, 2, 3. (11) Из (9)—(11) видно, что

{а„а1} = 26«1,   8,4=1,2,3. (12)

В частности, любые две различные матрицы (8) антикоммути-руют. Из (10), (11) следует также, что

<7\(Т2(ГЗ — И- (13)

Матрицы (8) образуют полный набор эрмитовых матриц со свойством (12). Более точно, справедливо следующее

Предложение. Не существует матрицы а £ М2 со свой­ствами

о- = <г\ (14) а2 = /, (15) {а,<т.,} = &,   к = 1,2,3. (16) Доказательство. В силу (14) (см. также (1)),

о (3 ІЗ 7

Тогда

Это согласуется с (15) только в двух следующих случаях: а = ±1 и

'-(її)

а2 + = 1.

(17)

Ясно, что при а = ±1 будет {<г, гг^} = ±2сть что противоречит (16). Пусть теперь а имеет вид (17). Тогда, очевидно, а = {3\о\ 4- /?2<г2 + а^з и, в силу (12), оч} = 2(3x1. Вместе с (16) (при .9 = 1) это означает, что (3^ = 0. Аналогично получаем (32 — а = 0. Но тогда а = О, что противоречит (15). •