§ 1. Действия над матрицами

1. Определение матрицы. Матрицей называют прямо­угольную таблицу чисел (вещественных или комплексных). Эти числа называют элементами матрицы. Матрицу будем записывать следующим способом

А = / «п

«21

«12 «22 «1п \ «2п (1)

Элементы Оу нумеруются двумя индексами; первый из них есть номер строки и меняется вдоль столбца, второй — но­мер столбца, который меняется вдоль строки. Для матрицы (1) употребляется также краткое обозначение, которое явно указывает на ее размеры:

А = {а,,И:1:.;:- (2)

Матрица, составленная из т строк и п столбцов, называется (т х п)-матрицей. Такая матрица возникнет, например, припоследовательном выписывании коэффициентов при неизвест­ных в системе из т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Множество всех (т. х п)-матриц будем обо­значать через Л/"' ". Наконец, условимся для элемента матрицы А в некоторых случаях использовать обозначение \Л},3:

ву = г=1,...,т; з = 1,.... п.

2. Линейные действия над матрицами. Введем линейные действия над матрицами — сложение матриц и умножение матрицы на число.

Сложение матриц определяется только для матриц совпа­дающих размеров: если А € Мт,п, В € Мт-п, то А + В € Мт'п, где

[Л + В]и = [Л]у + [В]ц,   1 = 1.....т; 3 = 1.....Л. (3)

Таким образом, сложение матриц состоит в поэлементном сло­жении.

Умножение матрицы на число состоит в умножении на это число каждого элемента матрицы. Для произведения ма­трицы А на число а используется как обозначение о А, так и обозначение Аа. Таким образом,

\аА}ц = \Aa\ij = а[Л]и,   г = 1...., т; з = 1.....п. (4)

Ясно, что и А е Мт'и, если А € Мт,п. В подробных обозначе­ниях

/ аац    «а12   - ■ •   ыа\п \

«Л = Аа =

V аа.,.1   010^2   • • •   аатп /

При этом предполагается, что в случае вещественных ма­триц их можно умножать на вещественные множители. В классе комплексных матриц подразумевается умножение на комплексные числа.

Перечислим свойства линейных операций в классе матриц Л1Г"'".

1. Коммутативность сложения:

А + В = В + А.

2. Ассоциативность сложения:

(А + В) + С = А + (В + С).

3. Существование нуля. Существует матрица О £ Мт п, называемая нулевой матрицей, такая, что

А + 3 = А, УЛеМ™'".

Это матрица, все элементы которой равны нулю [©]{_,- = 0.

4. Существование противоположной матрицы. Для любой матрицы А € Мт'п существует матрица А е Мт'п такая, что

А + А = 0.

Матрица А, называемая противоположной к матрице А, обо­значается —А. При этом [Л]у = [-Л]*,- = — [Л]1Г

5. Дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц:

(у{А + В) = аА + аВ.

6. Дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел:

(а + Р)А = аА + $А.

7. Ассоциативность относительно числовых множителей:

(а/3)А = а(/ЗЛ).

8. Особая роль числового множителя 1.

1-Л = Л.   УЛе ДГ Л.

Проверка этих свойств не представляет труда, если ис­пользовать аналогичные свойства для отдельных элементовматрицы, то есть для чисел. Отметим, что именно эти восемь свойств линейных операций в дальнейшем кладутся в основу абстрактного понятия линейного пространства.

Разность матриц Л и В определяется как сумма А и —В:

А- В := А + {-В).

3. Действия транспонирования и сопряжения. Транспо­нированная матрица получается из данной матрицы Л, если строки и столбцы поменять ролями. Транспонированную ма­трицу обозначают через Л'. Если Л е ЛГ"'", то Л' £ М" т, причем

\А\ = [А].}и   г = 1,..., п; 3 = 1,..., т. (5)

Отметим свойство линейности операции транспонирования. для любых матриц Л е Мт,п, В £ Мт,п и любых чисел а, (5,

{аА + 0В)' = а А* + ()В*. (6)

Ясно также, что (Л*)* = Л.

Для матриц с комплексными членами вводится понятие сопряженной матрицы. Сопряженная матрица Л* для данной матрицы Л получается из транспонированной матрицы Л*, если все ее элементы заменить комплексно сопряженными числами. Таким образом, если Л е Мт,п, то Л* е Мп-т, причем

[Л*]^=й~~,   г = 1,,7=1----,тп. (7)

Очевидно, для вещественных матриц транспонированная и сопряженная матрицы совпадают. Операция сопряжения обладает свойствам антилинейности: для любых матриц Л € Мш'п, В £ Мт'п и любых чисел а £ С, (3 £ С,

(а А + рВУ = аА* + рВ*. (8)

Отметим также, что А" := (Л*)* — Л.

4. Умножение матриц. Умножение матриц вводится лишь для матриц согласованных порядков: число столбцов первойматрицы должно совпадать с числом строк второй матрицы. По определению, для А е Мт<" и В € Мп р, их произведение С = АВ е Мтл> есть матрица с элементами

су = \AB\ij = ^аисН},  г = 1- • • .,т; ^ = I.....р. (9)

Суммирование ведется по второму значку для элементов А и по первому для элементов В; согласованность порядков сказы­вается в том, что оба эти значка меняются от 1 до га. У матрицы С т строк (столько, сколько у А) и р столбцов (столько, сколько у В). Формулы (9) называют "правилом умножения строки на столбец". Именно, для получения элемента с^, стояще­го в »-ой строке и .у'-ом столбце матрицы С, умножают к-ъш элемент г-ой строки матрицы А на к-ът элемент ^'-го столбца матрицы В, и эти произведения суммируют Л по к от 1 до п. Пример: т = 3, п — 2, р — 3,

 

(апЬи + «12^21 ац&12 + "12&22 апЬ13 + а^Ьгз а21 Ьц + а22&21 «21&12 + «22&22 «21&13 4- «22^23 «31&11 + а.32^1     «31&12 + «32&22    а.31 ^13 + «32^23

Произведение С = АВ есть (3 х 3)-матрица.

Упражнение. Составьте (2 х 2)-матрицу И = В А.

3 Суммы (9) образуются по правилу, которое при п. = 3 формально совпадает с выражением скалярного произведения двух векторов через их декартовы координаты.

Умножение матриц не коммутативно даже для (2 х 2)-матриц. Например, при

Этот же пример показывает существование "делителей нуля" для матриц. Действительно, А ф О, В ф 0, но В А =

Исходя из определений (3)-(5), (7), (9) можно проверить справедливость следующих свойств, в 4юрмулировке которых порядки матриц предполагаются согласованными.

1. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

2. Ассоциативность относительно умножения на число:

Свойства (10) и (11) вместе означают линейность произведения матриц по каждому из сомножителей:

(аА + рВ)С = а(АС) + 0{ВС),   А(аС + ДО) = а(АС) + р(АЛ).

 

 

{А + В)С = АС + ВС.   А(С + Б) = АС + АО.

(10)

(аА)С = а(АС),   А{[Ю) = (і(АС).

(П)

(12)

3. Ассоциативность умножения матриц:

А{ВС) = {АВ)С.

(13)

4. Правило транспонирования произведения матриц:

(АВ)' = В'А'.

(14)

5. Правило сопряжения произведения матриц:

{АВ)* = В* А*.

(15)

Докажем свойства (13) и (14). Свойства (10), (11) и (15) докажите самостоятельно в качестве упражнения.

Доказательство   ассоциативности   умножения матриц.

Пусть А е М"1'". В 6 Мп'р. С С ЛЛ''Г. Ясно, что тогда А{ВС) е Мт<т, (АВ)С € Л/тг. Вычислим сначала матрицу А(ВС). Имеем:

V

[ВС]я = ^ Ь^с^,   г = 1...., тг; к

1=1

П П р

Теперь вычислим (А2?)С:

= ^ а/;Ьу,   / = 1,----ш; 3

1=1

я г> п

\(АВ)С}1к = ^АВЪ1^ = 11И

(17)

Мы видим, что в (16), (17) правые части отличаются лишь порядком суммирования. Однако, поскольку значки суммиро­вания г, у меняются независимо друг от друга, порядок сумми­рования безразличен. Итак, матрицы А(ВС) и (АВ)С поэле­ментно совпадают. •

Доказательство правила транспонирования произведения матриц. При А € М™'" и В е Мп-" будет С = АВ е М"1", С е Мр'тп. Имеем:

г = 1.....Р5 3 =

Это и означает справедливость (14). •