Лекция 2. Случайные ходы и лотереи

Понятие лотереи. Формально говоря, в предыдущей игре исход для пер­вого игрока - это не число, а более сложный объект - выигрыш, зависящий от случая. В жизни с такими вещами постоянно приходится сталкиваться. Примеры - рулетки, лотереи, карточные игры, лошадиные бега, спортивные игры и т.п. Урожай зависит от капризов погоды, выручка - от конъюнкту­ры. Страхование - целая индустрия, построенная на неопределенности. Как же оценивать такие неопределенные вещи. Далее мы ограничимся тем случа­ем, когда существуют вероятности наступления того или иного исхода. Для контраста стоит отметить, что в играх приходится иметь дело с неопреде­ленностью более суровой, чем вероятностная - это неопределенность выбора стратегий партнерами по игре. Можно ли считать, что их действия всегда можно описать в вероятностных терминах?

Исход, зависящий от случая, формализуется понятием лотереи, или слу­чайного исхода. Пусть дано множество X "чистых" исходов; простоты ра­ди будем считать X конечным. Тогда лотерея тт (на X) задается указанием вероятностей 7г(ж) наступления каждого исхода х £ X. Числа тт(х) неотри­цательные и в сумме равны нулю. Итак, лотерея - это просто формальная комбинация вида ^ (. тт(х) ® х, где х пробегает X, тт(х) > 0 для любого х и ^2хк(х) = 1. На более математическом языке это вероятностная мера на X. Носителем лотереи (меры) тт называется подмножество supp(7r) = {х £ X, тт(х) ф 0}.

Лотереи рисуют схемами типа

 (в данном случае тут изображена лотерея 1/3 ® х + 2/3 ® у) или таблицами вроде

получить 100 руб.

попасть в тюрьму на 10 лет

побьют

0.3

0.5

0.2

Операции с лотереями. Несомненно, вы знакомы с понятием вероят­ности. Но теперь нас будет интересовать не одна какая-то вероятность или лотерея, а множество всех лотерей и, в частности, естественные операции с лотереями.

Обозначим через А(Х) множество всех лотерей на множестве X. Важ­нейшей структурой на А(Х) является выпуклость. Это означает, что если имеются две лотереи Л и /1, а также число а £ [0,1], то можно образо­вать составную лотерею аХ + (1 — а)ц. По определению аХ + (1 — а){1 = ^2х(схХ(х) + (1 — а)ц(х)) ® х. Иначе говоря, А(Х) является выпуклым под­множеством в векторном пространстве К ® X, порожденном X.

Далее, с каждым "чистым" исходом х £ X можно связать "вырожденную" лотерею 1 ® х (или просто ж), гарантированно дающую этот исход х. Тем самым исходное множество X реализуется как подмножество А(Х), причем именно как множество вершин. То есть геометрически А(Х) - это симплекс, натянутый на X. Если X состоит из 2 элементов, то А(.У) - отрезок, если из трех - треугольник, если из четырех - тетраэдр, и т.д.

 

х У

Операция А функториальна. Это значит, что если / : X —> У - отобра­жение множеств, то оно продолжается естественным образом до отображения А(/) = /* : А(Х) —> А(У). Подробнее: если    - лотерея (мера) на X, толотерея /*(//) устроена так: для у £ У

/(ж)=у

В экономической терминологии мера /*(//) называется маргинальной. При­чем отображение /* : А(Х) —А (У) согласовано с выпуклыми структурами на А(Х) и А(У).

На это можно взглянуть и иначе. Пусть / - отображение X в выпуклое мно­жество С; тогда / по "линейности" (а точнее, по аффинности) продолжается до аффинного отображения / : А(Х) —у С. Обычно в качестве С берется некоторое векторное пространство (а чаще всего - просто прямая К); в этом случае / называется случайной величиной, и тогда / называется интегралом (или средним значением) /. Точнее, для меры (лотереи) ц

}(»)= [ /ф = ад)-

В частности, для любого подмножества А С X можно проинтегрировать характеристическую функцию 1а и получить меру [л(А) множества А.

Последняя важная операция - произведение мер или лотерей. Пусть даны два множества X и У, и лотереи: Л на X и ц на У. Тогда можно образовать меру (лотерею) Л ® \х на X х У, полагая

(Л ® р)(х,у) = Х{х)р{у).

Проекция Л . // ни Л" и У дает как раз Лир. Содержательно произведение мер-лотерей отражает их независимость.

Байесова интерпретация функториальности. Вернемся к вопросу о наблюдениях и информации, затронутых в лекции 1. Снова X - состояния "природы", н / : .V —У М - прибор. Однако теперь мы предположим, что на X имеется "априорное" распределение вероятности /л е А(Х). Тогда функториальность Д дает вероятностное распределение получаемых наблюдений, /*(//) Е А(Л/). Кроме того, каждый полученный сигнал т & Л/ позволяет сказать не только то, что состояние природы находится в подмножестве Хт = /_1(т), но и пересчитать вероятности с учетом этого сигнала. А именно, можно образовать новую меру цт на X, полагая

№т(х) = 0, еСЛИ }{х) ф III.  II /Лт(х) = /л(х)/ц(/~1(гп)), ССЛII / (х) = ТП.

Конечно, это не что иное как условная вероятность. (Здесь неявно подразумевается, что М/_1(т)) 7^ 0; в противном случае мы не могли бы получить сигнал т.) Носитель ц,т лежит в множестве Хт, поэтому можно считать, что //„, - мера на Хт.

Обратно, знание условных вероятностей /лт (т е М) и маргинальной меры /*(//) по­зволяет восстановить исходную меру //. А именно,

(л = / (лтс1(^((л,)(т,)). ■I м