Лекция 20. Кооперативные игры

Переход к коалиционной теории. Теперь мы окончательно переходим к кооперативным играм. Как уже отмечалось, упор здесь переносится со стра­тегических аспектов на возможности коалиций. Подразумевается, что игроки могут образовывать всевозможные коалиции и внутри них подписывать обя­зывающие соглашения и договора. Это значит, что для каждой коалиции имеется множество тех полезностей, которые она может обеспечить своим членам.

Здесь и далее используется следующая терминология. Коалиция - это под­множество игроков К а коалиция N называется тотальной. Для на­бора стратегий 5дг = ($г, ^ ^ Ю чеРез $к обозначается его проекция на 8к = ХгеАгб'г; аналогично понимается в-к-

Предположим, что у нас имеется игра 6г = (Х, (<%), (щ)) в нормальной форме. Если все игроки договорятся использовать стратегический профиль 5дг, то выигрыши игроков удобно изображать вектором и(вм) = {щ{зы)) ^ К^. Когда мы переберем все стратегические профили из 5дг, мы получим некоторое множество в пространстве К^, которое обычно обозначают как У(М). Если игра конечная, то получается конечное множество, и это не со­всем удобно. Поэтому обычно с каждым вектором в У(Х) включают и все меньшие. (Если допускать коррелированные стратегии, т.е. вместо 5дг исполь­зовать Д(5дг), то множество У(М) получается даже выпуклым.)

Похожие множества У(К) можно связать не только с тотальной коалици­ей, но и с каждой коалицией К7 хотя это можно сделать разными способами. Мы обсудим сейчас наиболее естественный и употребимый способ. Скажем, что коалиция К гарантирует вектор полезностей х из К*', если существует коррелированная стратегия ак £ А(Бк)7 такая что для любой а^к выполне­ны неравенства

щ{&к , (У-к) > %ъ ^ £ К.

Обозначим через Уа(К), или просто через У(К), множество тех векторов в пространстве К*', которые может гарантировать К. По существу, это мини­максная идеология.

Что можно сказать про эти множества У (К)? Во-первых, они выпуклые (проверьте сами!) и нормальные (в том смысле, что с любой точкой содер­жат меньшие). Во-вторых, они замкнутые и ограниченные сверху (когда игра конечна). В третьих, выполнено следующее свойство супераддитивности: ес­ли коалиции К и К' не пересекаются, то У (К и К') содержит произведение У {К) х У (К'). Проверьте!