Лекция 19. Задача торга

 

Начиная с этой лекции мы будем постепенно переходить к кооперативной те­ории. Центр внимания будет переноситься с индивидуальных действий на кооперативные. Соответственно акцент будет уже не на стратегиях, а на выигрышах, получаемых от совместных стратегий. Кооперация означает со­трудничество, совместные действия. Тут возможны два подхода. Первый -когда индивиды целиком растворяются в новом субъекте - коллективе, у ко­торого как-то формируется своя цель, быть может, слабо связанная с целями индивидов. Мы не будем этим заниматься. Второй - когда индивидуальные интересы сохраняются, а кооперация совершается для того, чтобы всем "ко­операторам" стало лучше. Вот это будет предметом нашего рассмотрения.

Мы начинаем со случая двух игроков (можно представлять, что жених и невеста обсуждают варианты брачного договора, или два компаньона об­суждают варианты контракта). Для постановки задачи нужно учесть две вещи. Первая - возможности, которые доставляет кооперация. Вторая - то, что произойдет при отсутствии кооперации, то есть что получают участники, действуя индивидуально.

Формальная задача. Два игрока. То, что могут получить игроки в ре­зультате совместных действий, изображается множеством X в К2 пространстве полезностей. Точка (х\,Х2) £ X означает, что имеется (за кадром) неко­торое совместное действие, дающее в результате полезность х\ первому и по­лезность Х2 второму игроку. Кроме того, указывается точка d = (c?i, с?г) £ R2 разногласия (disagreement point) или статус кво. Она говорит, какую полез­ность получат игроки, если не смогут договориться.

Таким образом, формально задача торга - это пара (X, d) в пространстве К2. Обычно предполагается, что множество X замкнуто, ограничено (хотя бы сверху), выпукло, и что d £ А". Решить задачу торга - значит указать некоторую "хорошую" точку х* £ X.

Вот некоторые примеры появления задачи торга.

1. Пусть дана игра двух лиц в нормальной форме. Тогда в качестве X можно взять множество u(Sn), состоящее из пар (wi(sjv), U2(sn)), где sn про­бегает все стратегические профили. В качестве d берут обычно точку гаран-тированных выигрышей, т.е.

di = oti = maxminUi(sii s^i).

Заметим, что в общем случае d может не принадлежать X. Чтобы избежать этого неудобства, вместо множества X = {u(sn),sn £ Sn} обычно рассма­тривают множество X = Usjv^^aO — )• Содержательно это означает, что если игрокам доступен некоторый дележ, то доступен и любой худший. Ясно, что такая модификация переговорного множества безобидна.

Интерпретация этой задачи такая. До игры игроки могут попытаться до­говориться относительно любого исхода. Если они договариваются, они за­ключают обязывающее соглашение. Если не договариваются, они должны независимо выбрать стратегии и получить результат. Можно надеяться, что он не будет хуже щ (см. лекцию про осторожные стратегии).

2. Снова игра, но X состоит только из полезностей равновесных ситуаций; d как раньше. Заметим, что любое равновесие лежит "выше" d.

3. Вспомним про коррелированные стратегии. Это элементы из Д(5дг). Если изображать выигрыши, мы получим выпуклую оболочку множества u(Sn). Точка разногласия d как раньше.

4. Брать в качестве X множество полезностей для коррелированных равно­весий; оно чуть меньше предыдущего. Это понимается так. Коррелированные равновесия предлагает посредник, арбитр. Но их много, какое же предло­жить? Арбитр может исходить при этом из соображений справедливости и эффективности.

И вообще, тут уместно говорить об арбитре, поэтому задачи торга часто называют арбитражными схемами.

5. Задача торга может возникать и сама по себе, без игры. Классическая задача - "поделим доллар". Двум участникам предлагают поделить между собой доллар; если они не договорятся, они не получат ничего. В зависимости от постановки можно считать, что X либо отрезок {(х\: жг), х\ > 0, х\ + Х2 = 1}, либо треугольник {{xh ж2), Xi > 0, XI + х2 < 1}. Здесь d = (0, 0).

6. Точка разногласия может формироваться и более сложно.

Решение задачи торга. Поговорим теперь о том, что следовало бы счи­тать решением задачи торга. Мы уже говорили, что это означает выбор неко­торой точки х из X. Но одни точки лучше для первого, другие - для второго, так что однозначного ответа ожидать трудно. Все же некоторые требования представляются естественными.

Первое. По самому смыслу точки разногласия решение х не должно быть хуже о1. Это условие известно как требование индивидуальной рационально­сти. Никто не согласится получать меньше, чем при отсутствии соглашения.

Второе. Решение х должно быть Парето-эффективной точкой в X. В са­мом деле, арбитр, предложивший неэффективную точку, будет подвергнут критике и смещен.

Множество точек X, которые эффективны и индивидуально рациональны, иногда называют переговорным множеством. Это близко к понятию кривой контракта Эджворта.

Третье. Часто нужно предложить решение не для одной конкретной за­дачи торга, а для целого класса. И тогда естественным выглядит требование, чтобы решения отдельных задач были согласованы в каком-то смысле.

Итак, под решение задачи торга мы будем понимать следующее. Дан класс В задач (Х,о1). Решением называется отображение ф : В —У Е2, такое что ф(Х, о!) £ X для любого X £ В.

Утилитаризм и эгалитаризм. Как мы знаем, хороший выбор быва­ет при максимизации функции полезности. Поэтому можно зафиксировать некоторую функцию II на К2, и точку ф(Х}о1) искать как точку максимума II на X. Более точно, чтобы сразу удовлетворить условию индивидуальной рациональности, лучше искать максимум на множестве

ХЛ = {х £ X, х > а!} = X П [о] + Е2 ).

Оно непусто, если о1 £ X. А чтобы получать эффективные точки, нужно тре­бовать от Л монотонность: II растет, если обе координаты точки возрастают.

Здесь сразу приходят на ум два простых принципа - равной выгоды и наи­большего блага. В первом случае участник говорит: "Вы должны сделать это для меня, потому что я делаю больше для вас"; во втором - "сделайте нечто, потому что это принесет мне пользы больше, чем вам - вреда". В первом случае мы приходим к эгалитарному решению, когда равны приращения по сравнению с о1. Во втором - к утилитарному, когда максимизируется сумма х\ + Х2- В первом случае максимизируется функция гшп(ж1 — о1\, х2 — о12).

Обобщение. В предыдущем случае как бы подразумевалось, что имеется общая единица для измерения полезностей обоих участников. Но можно де­лать то же самое, взвешивая полезности, т.е. учитывая полезности игроков с разными весами. Зафиксируем пару положительных чисел-весов А = (А1, А2).

Определение. Х-эгалитарным решением называется точка из Х^, в кото­рой достигает максимума функция тп^АДж! — е^), Х2(х2 — о12)). Грубо говоря, это наилучшая точка, где Х\(х\ — о1\) = Х2(х2 — о12).

Х-утилитарным решением называется точка из Х^, в которой максималь­на функция А1Ж1 + Х2х2.

Отметим, что при росте А1 платеж 1-го участника убывает в А-эгалитар-ном и возрастает в А-утилитарном решении. Это намекает, что существуют такие веса А, при которых А-эгалитарное решение совпадает с А-утил тарным. Такие веса А дают естественную шкалу для задачи (X, о1).

Решение Нэша. Впервые задачу торга рассмотрел Нэш, который и пред­ложил интересное и наиболее популярное решение. Он ограничился следую­щим классом задач (X, а!):

a) множества X выпуклые, замкнутые, нормальные и ограниченные свер­ху. Нормальность означает, что вместе с каждой точкой х множество X со­держит и все меньшие точки. Ограниченность сверху можно понимать как существование такой точки Д7 Е В2, что X < М.

b) точка о1 лежит во внутренности X.

В этой ситуации Нэш предложил в качестве решения точку из X, в которой достигает максимума т.н. произведение Нэша

Какими хорошими свойствами обладает решение Нэша? Во-первых, оно единственно. Во-вторых, оно не зависит от добавления констант к полез-ностям. Поэтому всегда можно считать, что точка о1 находится в нуле. В-третьих, если мы проведем через точку-решение х касательную к гиперболе

11(х) = (хі - а]{)(х2 - й2).

 

Хг

Х\Х2 = х\х2 (а она будет касательной и к множеству X), то отрезок ка­сательной между координатными осями разобьется точкой х пополам. Это нетрудно подсчитать (см. рисунок выше).

Это означает, как легко понять, что решение не зависит и от выбора мас­штаба полезностей. Кроме того, это означает, что если в качестве А^ взять то точка Нэша является одновременно А-эгалитарным и А-утилитарным решением. Выполняется также свойство симметрии: если множество X сим­метрично относительно диагонали (подразумевается, что о1 = 0), то х\ = х2. Наконец, это решение обладает следующим свойством независимости от по­сторонних альтернатив: если У С X и х = ф(Х, 0) £ У, то х = ф(У: 0).

Нэш показал, что верно и обратное. Более точно, пусть класс В задач выбора такой как выше, и решение ф : В —> К2 удовлетворяет следующим 5 аксиомам:

Аксиома 1 (эффективность). ф(Х, <7) £ X. и если х > ф(Х, а!) для х из X, то х = ф(Х, о1).

Аксиома 2 (индивидуальная рациональность). ф(Х,о1) > о1.

Аксиома 3 (скалярная ковариантность). Пусть Л(,;) = Хг + 7 - пре­образование плоскости К2, где А = (А1, А2) > 0, а 7 = (71,72) произвольный элемент К2. Тогда ф(А(Х), А(о1)) = А(ф(Х,о1)).

Аксиома 4 (независимость от посторонних альтернатив). Если У С X и ф(Х, а!) £ У, то ф(У, а!) = ф(Х, в).

Аксиома 5 (симметрия). Если й\ = (1> и X симметрично, то

ф1{Х,в) = ф2{Х^).

Теорема. Единственное решение ф, удовлетворяющее аксиомам 1-5, это решение Нэша (максимизирующее функцию (х\ — о1\)(х2 — о12)).

Доказательство. Пусть максимум достигается в точке х. Делая линейное преобразование, можно считать, что х = (1,1), а о1 = (0,0). Гипербола в точке х имеет наклон —1. Поэтому рассмотрим множество Е = {.| + г2 < 2}; X С Е.

Согласно симметрии и эффективности ф(Е,0) = (1,1) = х. По аксиоме 4 мы имеем ф(Х: 0) = х. □

 

Другие решения. Нэш предложил свое решение в работе 1950 г. Поз­же были предложены и другие решения. Например, можно отказаться от симметрии, оставив остальные 4 аксиомы. Тогда мы придем к максимизации обобщенного произведения Кэша х^х^.

Калаи и Смородински (1975) предложили решение, основанное на сообра­жениях монотонности. Будем снова считать, что (I = 0. Определим числа гПг(Х) как максимум ^, где у £ X и у > 0. Тогда они предлагают делить х пропорционально т.

т2(Х)

 

Для этого решения также имеется аксиоматическая характеризация. Здесь нарушается аксиома независимости. Они вместо нее предлагают аксиому ин­дивидуальной монотонности: предположим, что т\(Х) = т\(У), и У С X. Тогда ф2(У) < ф2{Х)] и аналогично для второго игрока.

Многомерное обобщение. Решение Нэша (и другие решения) допуска­ют многомерное обобщение, когда игроков более двух. Однако они менее ин­тересны, поскольку в них не учитываются возможности коалиций. Этим мы займемся более подробно в следующих лекциях, посвященных уже целикомпо

кооперативным аспектам. Случай торга двух лиц лежал на грани некоопера­тивной и кооперативной теории.