Лекция 17. Игры с сообщениями

Фактически, если появляется какая-то наблюдаемая величина (эта паро­дия на сообщение), то меняется игра: начальный ход делает природа и игроки видят результат. Так что переговоры опять сводятся к договоренности о рав­новесии Нэша в этой новой игре.

Игры с посредником, или коррелированные стратегии. Еще боль­ше возможностей появляется, когда игроки могут обратиться за помощью к посреднику. А он может предложить им некоторую коррелированную стра­тегию.

Определение. Коррелированной стратегией называется произвольный элемент р £ А(5дг).

Отличие от ранее использованных смешанных стратегий в том, что теперь не требуется независимость выборов игроков. Использование такой коррели­рованной стратегии дает игроку г ожидаемый платеж

Щи) = ^Кя^и^ы)-

Представим, что посредник выбирает (быть может, по согласованию с игро­ками) некоторую коррелированную стратегию р и сообщает об этом всем игрокам, так что р становится общим знанием. Затем он с помощью рандоми-затора выбирает некоторый профиль стратегий вдг из носителя и сообщает секретно (!) каждому игроку г ту стратегию 5^, которую он ему рекомендует использовать в данном случае.

В нашем примере с перекрестком, рассмотрим коррелированную страте­гию, которая с равными шансами (по 1/3) выбирает ситуации (М,м), (М,в) и (В,м). Если игроки следуют указаниям посредника, они получают выигрыши

(2, 2)/3 + (3,0)/3 + (0,3)/3 = (5/3, 5/3),

что больше, чем старый рекорд (3/2,3/2).

Однако будут ли указания посредника выполняться? Будут ли они само­поддерживающимися (self-enforcing)? Более точно, выгодно ли игрокам сле­довать рекомендациям посредника? Рассмотрим первого игрока. Если он по­лучает указание использовать стратегию "В", то он знает (зная /./), что второй игрок получил указание "м". Предполагая, что 2-й игрок будет следовать ука­занию, первый игрок тоже последует данному ему указанию, так как оно -наилучший его ответ на "м".

Представим теперь, что он получает указание применить стратегию "М". Теперь он уже не может определенно знать, что было рекомендовано второму. Однако он может сделать вероятностное суждение, основанное на условных вероятностях. Условная вероятность того, что второй получил указание "м", равна

/и(М,м)/(/и(М,м) + /и(М,в)) = (1/3 + 1/3)/3 = 1/2.

Аналогично условная вероятность указания "в" равна также 1/2. Ожидае­мый выигрыш 1-го при использовании указания "М" равен .5 • 2 + .5 • 0 = 1. Ожидаемый выигрыш 1-го при использовании стратегии "В" тоже равен .5 • 3 + .5(—1) = 1. Поэтому 1-му нет выгоды отклоняться от предложенной ему стратегии М. То же для второго.

Коррелированные равновесия. Теперь можно дать общее определение, предложенное Ауманном (1974).

Определение. Коррелированная стратегия // £ А(5дг) называется кор­релированным равновесием, если для любого игрока г и любого отображения (отклонения) Si : Si —> Si выполняется неравенство

Ui(fJ>) > ^2fJ>(sN)Ui(Si(Si),S-i).

sn

Здесь Si - это план реакции игрока г на рекомендации посредника. А Щ(р) - это ожидаемый выигрыш /. если он следует указаниям посредника. Таким образом, эти неравенства говорят, что отклонение от рекомендаций не да­ют улучшения. Их можно рассматривать, как обобщение условий Нэша на равновесие.

Приведенное выше условия равносильны следующей системе неравенств: для любого г и любых стратегий в^,    £ Si

При фиксированном Si это означает, что условный (при получении указа­ния si) выигрыш от стратегии Si не меньше, чем от стратегии е^.

Эти условия можно понимать также как совместимость с побуждения­ми (incentive compatibility) предлагаемой коррелированной стратегии ц. От­метим, что множество коррелированных равновесий р - выпуклый много­гранник, ибо оно задается линейными неравенствами (3) (плюс условие, что р - вероятность). Поэтому выпуклым многогранником является и область выигрышей при коррелированных равновесиях. Она, конечно, содержит все равновесия Нэша, но может быть больше выпуклой оболочки таких равнове­сий.

Неформально понятие коррелированного равновесия предполагает, что: а) имеется посредник, и б) имеется канал связи, позволяющий посреднику по­сылать секретное сообщение каждому игроку.