Лекция 7. Доминирование стратегий

В терминах геометрического представления из предыдущей лекции доми­нирование означает, что точка 5^ лежит "выше" точки б[ в пространстве К5-*. Если стратегия сильно доминирует стратегию 5^, то щ(з^:а^) > щ(з'^а^) для любой (коррелированной) смешанной стратегии £ А(Б^) (и обратно, конечно). Это означает, что ни при каких "догадках" игрока г относительно поведения остальных игроков ему невыгодно использовать стратегию в^. Им­пликациями этого замечания для нахождения решения игры мы займемся в следующей лекции. А в этой обсудим совсем уж редчайший случай - когда существует доминирующая стратегия.

Доминирующие стратегии. Определение. Стратегия .%•; игрока / на­зывается доминирующей (или доминантной), если она (слабо) доминирует любую стратегию из 5^.

Использование доминирующей стратегии рационально при любых догад­ках. Если у игрока г есть такая стратегия, то ему не нужно строить никаких догадок, и в частности, вообще знать что-либо о полезности остальных. И очень правдоподобно, что рациональный игрок будет использовать домини­рующую стратегию, если она у него имеется.

Применение доминирующих стратегий на первый взгляд представляется бесспорным. Но так ли это на самом деле? Рассмотрим пример

101,0

1,1

100,100

0,0

Здесь стратегия з1 доминирующая и на нее ответ /2. В результате оба получают по 1. Но представим, что изредка (с частотой 0.02) 1-й игрок использует "плохую" стратегию з2. Тогда для 2-го игрока станет более привлекательной стратегия /1 и они получат: первыйпо прежнему больше 100, а второй - около 20. Стоит ли 1-му гоняться за мелочевкой, чтобы в результате получить худший исход?

Поэтому очень здорово, когда хотя бы у одного игрока имеется доминирую­щая стратегия. Тогда его поведение можно считать известным, что позволяет исключить его из числа игроков. Идеальная же ситуация - когда доминиру­ющая стратегия есть у каждого игрока.

Ситуация (или профиль стратегий) вдг = (-51,..., вп) называется равнове­сием в доминирующих стратегиях, если для любого игрока г стратегия является доминирующей. Если такие равновесия существуют, их с большим основанием можно считать решениями игры.

Тут стоит сделать одно предостережение. Может случиться, что есть несколько до­минирующих стратегий. Конечно, они равноценны для игрока %, но могут давать разные выигрыши другим. Простой пример:

10,10

0,10

10,0

0,0

Первому все равно - з1 или з2, но второму не все равно! Что выберет 1-й, если он не знает полезностей партнера? А если знает?

Интуитивно ясно, что доминирующие стратегии бывают очень редко. Тем не менее встречаются игры, в которых есть равновесия в доминирующих стратегиях.

Дилемма заключенных. Наличие доминирующих стратегий дает ред­кую возможность игроку найти оптимальное решение даже не зная пред­почтений остальных. Но не нужно думать, что полученное решение всегда хорошее. Контрпример доставляет знаменитая дилемма заключенных с та­блицей

5,5

-3,8

8, -3

0,0

Такую игру можно интерпретировать как дуополию. Если участники дого­ворятся продавать товар по высокой цене, они выручат по 5. Но если при этом один снизит цену, а второй будет продолжать продавать по высокой цене, он захватит рынок и получит большую прибыль, тогда как его сопер­ник останется в проигрыше. Если они оба торгуют по низким ценам, прибыли нулевые.

В этой игре существуют доминирующие стратегии, это б2 и 12 (обычно их называют эгоистическими, или некооперативными). Но они дают не лучший

 (прямо скажем, плохой) исход. Это, впрочем, общее место: некооперативное поведение в общем случае плохо согласуется с коллективными интересами. Мы еще вернемся к этой игре и проблеме неэффективности при обсуждении игр с сообщениями и повторяющихся игр.

Аукцион второй цены. Предположим, что некто хочет продать свой дом, и есть два покупателя, А а В. Будем считать, что полезность дома для покупателей равна 3 или 4 млн. руб. Как же организовать аукцион?

Простейший выход видится таким: покупатели в запечатанном конверте предлагают цену. Конверты вскрывают и дом передается тому, кто предло­жил большую цену, которую он и платит. Для простоты можно считать, что множества стратегий - интервал [3,4]. Если ценность для индивида А равна 3, то ему нет смысла предлагать более 3. А вот если ценность для индивида равна 4 млн., то ему лучше всего предложить чуть больше, чем предлагает его соперник. Так что у него нет в этом случае доминирующей стратегии.

Однако возможен другой способ организации аукциона (т.н. аукцион вто­рой цены, или аукцион Викри). В нем победитель определяется как раньше, но цена, которую он платит за дом, равна предложению второго покупателя. В этом случае у покупателя А (как и у В) есть доминирующая стратегия, а именно, сообщить свою истинную оценку. В самом деле, пусть предложение В равно у. Если ценность для А равна 3, то все ясно. Пусть теперь ценность равна 4. Если предложение Л < у. то он дом не получает, но ничего и не платит. Т.е. по нулям. Если же его предложение > у7 то дом он получает, и платит у. Т.е. эффект тот же, как если он назовет 4 млн.

Конкретные числа (3 и 4 млн.), а также то, что покупателя всего два, не имеют значения. На аукционе второй цены у каждого покупателя имеется доминирующая стратегия. Более того, это простейшая стратегия - говорить правду, называть свою истинную оценку.