3.4    Существование и строение конечных полей

Предложение 3. Пусть к - поле. Тогда для любого многочлена /(х) £ к[х] существует поле к\ Э к. содержащее некоторый корень этого мно­гочлена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р(х) - неприводимый множитель /(ж) в к[х]. Тогда к[х]/(р) является полем, и а = х - корень /(х) = 0.

Следствие. Для любого /(ж) £ к[х] существует поле Е Э к, содержа­щее все корни /(х).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, согласно предложению 3, суще­ствует поле к\ Э к, содержащее один корень а\ многочлена /(ж). По лемме Везу (х — а\)\(/(ж). Рассмотрим многочлен /(х)/(х — а{) £ к\[х]. Для не­го существует поле &2 2 к\, содержащее его корень а2. По лемме Безу (х — а2)|/^ . Рассматривая , _ —т и рассуждая аналогично, придем к доказательству следствия.

Пусть р - простое число иг/ = р". Рассмотрим поле Е Э ОЕ(р). со­держащее все корни а\,...,ад многочлена хд — х £ Так как (хч — х)' = дж9^1 — 1 = —1, то данный многочлен не имеет кратных корней, т.е. п/ ф (\I при / ф ]. Пусть СЕ{(1) = {п 1...., ад}. Докажем, что СР(д) -подполе Е. Действительно, пусть а,/3 £ СР(д). Тогда (а/3)д = ад • /Зд = а/3 и (а + (3)д = ((а + (3)р)рп^ = {рР + (Зр)р^1 = ■ ■ ■ = аРп + = а + (3. Следовательно, а/3, а + (3, аГ1 £ СР(д). если о ф 0.

С другой стороны, если Р - конечное поле с единицей е, то среди эле­ментов е, 2е, Зе,... найдутся два одинаковых. Например, ае = Ъ • е, а > Ь. В частности, (а — Ь) • е = 0.

Пусть р = тгп{п £ 14; п > 0, пе = 0}. Тогдар - простое число (доказать!) иРЭ С?Р(р) = {0, е, 2е,..., (р— 1)е}. Р является векторным пространством над ОР(р). Если гг = (ИтР. то Р = {^г'Ч + ... ^г,,; Д £ ОР(р). {г\...., г,,} - базис }. Следовательно, |Р| = рте = д. Множество Р \ 0 является группой порядка (д — 1) относительно операции умножения. По следствию из тео­ремы Лагранжа любой элемент а £ Р \ О удовлетворяет равенству а4^1 = е или а4 = а. Итак, элементы из Р являются корнями (хч — х) £ ОР(р)[х]. Таким образом, конечные поля существуют, совпадают с множеством всех корней многочлена (хд — х) £ где д = рп, в некотором расширении

поля СР(р).

Предложение 4. Мультипликативная группа конечного поля СР(д) является циклической.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть С = (Щд) \0 = {аъ ..., ад^}. Порядок к-, = \а-, \ является делителем д—1 = //,' ... р'л:. Пусть т = [к\..... к,,-\] - НОК чисел к\..... к,,^\. Если т = р\...р\% то найдутся элементы ..... такие, что к2\ = - г\..... к;и = //- • у8. Тогда элементы Ь\ = ..... 6, = имеют порядки ..... //- соответственно, а элемент 6162 ■ ■ - Ъ$ = с будет иметь порядок т. Так как ^|га, г < д — 1, то каждый элемент из С является корнем хт — 1 £ ОР{р)[•'']• д = /->"• Т.е. д — 1 < т. С другой стороны, т = |с| | (д — 1) и д — 1 = т, т.е. С = (1, с,..., с9^2).

Упражнение 1. Найти циклические порождающие полей     (4), СР(9).

Упражнение 2. Найти все неприводимые многочлены степени два над вР(5).

Упражнение 3:

а) решить в поле СР(7) уравнение х4 = 3;

б) решить в поле ОР(&) уравнения: 1) х6 = 5;       2) х2 + ж + 1 = 0. Упражнение 4. Пусть Я = 7[г] и / = (о) < Я. Доказать, что Я/1 - поле,

если

1) а = 1 + г (порядка 4);

2) а = 3 ( порядка 9).

Если а = 5, то доказать, что Я// не является полем. Упражнение 5. Доказать, что в поле СР(32) каждый элемент, не рав­ный 0, 1, является циклическим порождающим (т.е. примитивным).

Упражнение 6. Поле СР{(1) содержит <^(д —1) примитивных элементов.

Упражнение 7.   Доказать, что группа обратимых элементов не является циклической. Упражнение 8:

а) доказать изоморфизм полей

б) найти корни [х2 + х + 1) в поле Z2[x]/(x4 + х + 1). Упражнение 9. Пусть А'(п.р) - число неприводимых многочленов сте­пени п в И,,[:>:]. Доказать, что

УКАЗАНИЕ. Многочлен (хрП — х) является произведением всех непри­водимых многочленов степеней d,d\n,d < п. Следовательно, Рп — Yl d' N(d,p). По формуле обращения Мебиуса nN(n,p) = Yl p(^)pd-

d\n d\n

Упражнение 10:

а) вычислить A*(/v. 2), п < 9;

б) доказать, что Л* (6. 7) = 19544.