3.3    Фактор-кольца коммутативных колец

Пусть Я - коммутативное кольцо с единицей и / - идеал кольца Я (в обозначении 1<Я). Рассмотрим множество смежных классов относительно идеала I :

Я = Я/1 = {а = а + 1;а £ Я}. Определим на Я операции "+" и "•" по правилам:

а + Ъ = а + 6,       а -Ъ = аЪ.

Корректность этих операций следует из определения идеала и следующей леммы.

Лемма 1. а = Ь -<=>- (а — Ь) £ I. Доказательство предоставляется читателю.

Кольцо Я = Я/1 является ассоциативным, коммутативным и содержит единицу 1. Оно называется фактор-кольцом кольца Я по идеалу /. Отобра­жение

7Г : Я —>• Я/1, тт(а) = а

является сюръективным гомоморфизмом кольца Д на Д// ( и называется естественным гомоморфизмом Я на Я/1). Идеал / кольца Я назовем мак­симальным, если для любого другого идеала М о Я такого, что / С М С Я следует, что либо I = М, либо М = Я. Упражнение 1:

а) доказать, что 1<\Ъ является максимальным тогда и только тогда, когда / = (р). где р - простое число;

б) кольцо с единицей является полем тогда и только тогда, когда (0) -единственный максимальный идеал в нем.

Предложение 1. Пусть I о Я. Фактор-кольцо Я/1 является полем тогда и только тогда, когда I - максимальный идеал.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Я/1 - поле и М идеал, содержащий /. Если М ф I. то М/1 Э а ф 0. Так как Я/1 - поле, то а • (Г1 = 1 £ М/1 и для некоторого элемента т Е М(1 - га) £ I С М. Таким образом, 1 £ М и, следовательно, для любого элемента х £ Я х = х • 1 £ М. Поэтому Я = М. Обратно, пусть I - максимальный идеал я а ф 0 £ Я/1. Тогда идеал (а) + I ф I и, следовательно, (а) + / = Я. Откуда следует равенство 1 = ах + у" для некоторых х £ Я,г £ I. Поэтому 1 = а ■ х, т.е. Я/1 - поле.

Предложение 2. Пусть Я - область главных идеалов, т.е. кольцо без делителей нуля с единицей, в котором каждый идеал 1<Я однопорожден, (т.е. I = (а) для некоторого а £ Я). Если тт - неразложимый элемент в Я, то (тт) - максимальный идеал и Я/ (я-) - поле.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если М <1 Я и М Э {тт). то М = {а) и тт = их. Так как а 0 (я-), то а - обратимый элемент, т.е. М = Я. По предложению 1 Я/{тт) - поле.

Примерами таких колец (ОГИ) являются %,к[х], где к - поле. Если в кольце без делителей нуля имеется алгоритм деления с остатком (такие кольца называются евклидовыми), то они являются областями главных идеалов. Например, Ъ[г],Ъ[г\/Щ,Ъ[\/Щ.

Упражнение 2. Кольцо Я называется евклидовой областью, если Я ­кольцо делителей нуля с единицей и определено отображение <р : R —>• Z такое, что:

а) если Ь ф О, а ф О и 6/а, то <£>(6) < у (а);

б) для любых элементов а. Ь £ R. Ь ф О существуют элементы q. г £ R такие, что а = bq + г, где у (г) < у (6).

Доказать, что если Я - евклидова область, то

1) <p(Q) < ip(b) для любого b ф О £ R;

2) у (а) = <£>(6), если а и 6 ассоциированы;

3) а и 6 ассоциированы, если а/b и ip(a) = у(6);

4) <р(е) = <р(1)

5) R - ОГИ;

6) R - область с однозначным разложением на множители. Упражнение 3. Доказать, что следующие кольца являются евклидо­выми:

а) Z[z], (р(а + Ы) = а2 + б2;

б) Z[x/2], <р(а + ЬуД) = \а2 - 2Ь2|;

в) Z[iV2], <р(а + 6г^) = а2 + 262;

г) Z, <£>(п) = |п|;

д) к[х], (p(f(x)) = degf(x)}k- поле (<р(0) = -1).