7. Матриця бінарних порівнянь

Метод бінарних порівнянь дозволяє порівнювати дві альтернати­ви між собою і виражати результат порівняння в ранговій шкалі. Коли є більше ніж дві альтернативи, то, використовуючи цей метод, можна по­рівнювати кожну пару альтернатив і одержати ряд результатів порів­няння. Результати доцільно подати у вигляді матриці, кожен елемент якої встановлює перевагу однієї альтернативи над іншою. Таку матрицю називають матрицею парних порівнянь (або матрицею пріоритетів чи матрицею переваг).

Матриця бінарних переваг, побудована описаним способом, має ряд властивостей. Це діагональна матриця - всі діагональні елементи рівні 1, адже вони відповідають порівнянню об' єктів самих з собою. Матриця є обернено симетричною, тобто елементи, симетричні віднос­но діагоналі, є взаємно обернені. Якщо перевага однієї альтернативи над

іншою виражається певним числом ttij, то для зворотного порівняння

величина переваги ttji дорівнює

тобто величини ttij, і ttji є оберненими.

Тут ttij - елемент і - го рядка і j- го стовпчика. tij показує ступінь переваги (пріоритету, наданого експертами)

величини, розміщеної в рядку і, над величиною, розміщеною в рядку j. Діагональні елементи обернено симетричної матриці завжди рівні 1, адже

аи = 1/аи = 1.

У випадку, коли альтернативи порівнюються за однією характе­ристикою, поданою в числовій шкалі, елементами матриці переваг євідношення величини: числове значення альтернативи і - рядка ((£>і), поділене на числове значення альтернативи] - колонки (О)^) тобто

У випадку порівняння альтернатив з якісною оцінкою або які мають декілька числових характеристик різної розмірності, елементам матриці присвоюють значення згідно з оцінками експертів за шкалою Сааті. Величина переваги проставляється в рядку більш важливої альте­рнативи, а в колонці (діагонально симетричній клітинці) записують обе­рнене значення.

Важливою властивістю матриці переваг є її узгодженість. Розріз­няють поняття кардинальної і порядкової узгодженості матриць.

Кардинально узгодженою є матриця, побудована для величин, поданих у шкалі відношень. Для такої матриці справедлива умова кар­динальної узгодженості, а саме

ац * а]к = аік.

Добитись кардинальної узгодженості матриці, побудованої шля­хом експертних оцінок, за шкалою Сааті надзвичайно важко. Тому для таких матриць вимагають задоволення вимог порядкової узгодженості (іноді її називають транзитивною узгодженістю).

Порядкова узгодженість полягає в тому, що коли альтернатива Аі має перевагу над альтернативою А], а альтернатива А] над альтернати­вою Ак, то величина оцінки переваги повинна бути більша від вели­чин Сіу і Таке співвідношення повинно бути справедливе для будь-якої групи альтернатив. Звичайно, добитись порядкової узгодженості легше ніж кардинальної.

У матрицях, побудованих на основі експертних оцінок, вимога порядкової узгодженості не завжди виконується. Особливо це характер­не для матриць великої розмірності. Якщо вимога порядкової узгодже­ності порушується, то це свідчить, що у судженнях експертів є проти­річчя. Судження треба переглянути, а матрицю відредагувати. Тому після складання матриці парних порівнянь, перевіряють ступінь узго­дженості одержаних оцінок і в разі потреби коректують матрицю, тобто переглядають судження декількох (або всіх) експертів.

Зауваження. Можливість протиріч у матриці парних порівнянь обумовлена тим, що матриця, побудована за судженнями експертів, міс­тить значно більше оцінок експертів, ніж повністю узгоджена матриця.

Число оцінок експертів, яке входить в матрицю, дорівнює ( П2 — П)/2, а

повністю узгоджена матриця має всього П-1 незалежних параметрів (П

- порядок матриці). Різниця зростає із зростанням розмірів матриці: як­що в матриці 2-го порядку кількість експертних оцінок і незалежних параметрів 1, то вже в матрицю 5-го порядку входить 10 оцінок експер­тів при 4 незалежних параметрах, а в матрицю 8-го порядку - 28 при 7 незалежних параметрах.

Як міру узгодженості матриці парних порівнянь використовують два показники:

- індекс узгодженості (ГУ);

- відношення узгодженості (ву).

Індекс узгодженості розраховують за формулою

•    = Лтах ~ П

П -1

Тут 1тах - найбільше власне значення матриці парних порівнянь;

П - розмірність матриці.

Найбільше власне значення матриці парних порівнянь розра­ховують за формулою

п

Апах = Е Рі * $

п

де $ ■ сума значень матриці по колонках, $ . = ^ а

Р - компоненти вектора пріоритетів, Рі

п

Е у,

Компоненти вектора пріоритетів обчислюються як нормоване

значення власного вектора матриці Уі. Компоненти власного вектора

матриці є середнім геометричним значенням елементів рядка матриці, тобто розраховуються за формулою

п

Па,

І=1

Відношення узгодженості (ву) дорівнює відношенню індексу уз­годженості Гу до випадкового індексу вГву = —. вг

Випадковим індексом називають індекс узгодженості, розрахова­ний для квадратної П - мірної, зворотно - симетричної матриці, елемен­ти якої є випадковими числами (наприклад, створені генератором випа­дкових чисел, розподілених за рівномірним законом). Для виконання розрахунків використовується таблиця випадкових індексів матриць до 15 порядку (див. табл. 8). Величини випадкових індексів у ній розрахо­вані як середнє значення вибірки з N=100 матриць.

Таблиця 8 - Значення випадкових індексів матриць

Порядок матриці,я

Випадковий індекс матриці, ві

2

0

3

0,58

4

0,90

5

1,12

6

1,24

7

1,32

8

1,41

9

1,45

10

1,49

11

1,51

12

1,54

13

1,56

14

1,57

15

1,59

Відношення узгодженості матриць, для яких виконується вимога кардинальної узгодженості, завжди дорівнює нулю. Для матриць, в яких умова кардинальної узгодженості не виконується, цей індекс відмінний від нуля і близький або дорівнює 1 для матриць, побудованих повністю випадковим способом. Як правило, вимагають, щоб відношення узго­дженості не перевищувало 0,1. Якщо

ву < 0,1,

то матрицю пріоритетів вважають задовільною, якщо ця умова не ви­конується, то експерту рекомендують переглянути свої судження і від­редагувати матрицю парних порівнянь.

1. Що розуміють під поняттям вибір в теорії прийняття рішення?

2. Які умови прийняття рішення можуть бути?

3. Які види відповідальності за вибір рішення враховують в тео­рії прийняття рішення?

4. Що розуміють під поняттям умови прийняття рішення?

5. Відносно якої особи розглядають завдання вибору?

6. Що розуміють під поняттями альтернатива, множина альтер­натив та підмножина вибраних альтернатив?

7. Які режими вибору можуть бути?

8. Які види відповідальності вибору враховує теорія прийняття рішення?

9. Які типи задач вибору Ви знаєте?

10. Що розуміють під поняттям "Ступінь узгодженості цілей" ви­бору, якою вона може бути?

11. Як розрізняються завдання вибору за сукупністю результатів, які реалізуються після вибору?

12. Що таке критерій вибору?

13. Які методи вирішення багатокритеріальної задачі Ви знаєте?

14. Згадайте і запишіть формули приведення багатокритеріальної до задачі з одним критерієм.

15. У чому полягає метод знаходження умовного екстремуму?

16. У чому полягає метод створення множини Парето?

17. Які головні положення методу бінарних порівнянь Ви знаєте?

18. У чому суть методу бінарних порівнянь?

19. Як виглядає шкала порівняння переваги альтернатив за оцін­ками експертів, запропонована Сааті?

20. У чому переваги шкали Сааті?

21. Хто може виступати експертом?

22. Наведіть приклади використання шкали Сааті.

23. Як порівняти альтернативи, що мають один критерій, вираже­ний у шкалі відношень?

24. Як порівняти альтернативи, коли їх критерії виражені в ранго­вій шкалі?

25. Як порівняти альтернативи, що мають декілька критеріїв у рі­зних одиницях ,виражених у шкалі відношень?

26. У чому полягає метод бінарних порівнянь?

27. Які властивості матриці парних порівнянь?

28. Який вигляд має зворотно - симетрична матриця?

29. Як обрахувати значення елементів матриці переваг, коли аль­тернатива задана числовим значенням?

30. Сформулюйте умову кардинальної узгодженості матриці.

31. Яка умова порядкової узгодженості матриці?

32. Чим обумовлена можливість протиріч у матриці парних порі­внянь?

33. За якою формулою розраховують індекс узгодженості матри­ці?

34. Як обрахувати найбільше власне значення матриці?

35. Як обчислити компоненти вектора пріоритетів?

36. Що таке відношення узгодженості?

37. Що називають випадковим індексом, для чого його викорис­товують?