4. Порядкові (рангові) шкали

Порядкова (рангова) шкала, як і шкала найменувань, відноситься до слабких шкал. Вона виникає, коли в шкалі найменувань є не тільки можливість віднести об' єкти до певного класу еквівалентності, а й мо­жливість порівнювати об' єкти за будь-якою ознакою в розумінні більше - менше, краще - гірше, тобто об'єкти можна розмістити в порядку збі­льшення чи зменшення якої-небудь ознаки. Розрізняють декілька по­рядкових шкал, які дещо відрізняються одна від другої за своєю силою, а саме шкалу простого порядку, шкалу слабкого порядку та шкалу част­кового порядку. У шкалі простого порядку, крім аксіом 10 - 30, діють наступні аксіоми упорядкування:

40 якщо    А > В то В < А,

50 якщо    А > В і В > С то А > С.

Шкала слабкого порядку відрізняється від шкали простого по­рядку тим, що бувають випадки, коли не кожну пару класів шкали на­йменувань можна чітко впорядкувати, а деякі класи вважаються рівни­ми між собою. Для такої шкали порядку, що має назву шкали слабкого порядку, виконуються такі аксіоми:

41 якщо    А > В то       В £ А,

51 якщо    А > В і В > Сто       А > С.

Прикладом такої шкали може бути впорядкування за ступенем спорідненості , як-от (батько = мати) > (син = дочка) > (онук = онука).

Шкала часткового порядку виникає, коли із всієї множини об' єктів є деякі пари, котрі можливо порівняти між собою, а інші - ні. Наприклад, у соціологічних дослідженнях при вивченні споживчої по­пулярності товарів подекуди важко віддати перевагу велосипеду чи ма­гнітофону, їх не можна порівнювати між собою, а іншим товарам може бути надана чітка перевага.

Характерною особливістю порядкових шкал є те, що в них вста­новлюється тільки відношення порядку, але нічого не говориться про те, наскільки один клас об' єктів кращий від іншого. Тому у випадку, колипорядок встановлюється певними числами, немає сенсу говорити про середнє число для певної групи чи про ступінь переваги однієї групи над іншою. Наприклад, порядковою шкалою користуються при оцінці виступів гімнастів, оцінці катання на ковзанах. Але тут не можна гово­рити про те, що спортсмен, який одержав 10 балів, в 2 рази краще ви­ступає від того, хто одержав 5 балів. Так само немає сенсу порівнювати середній бал спортсменів, одержаний у різних видах програми. Інколи такі порівняння роблять, але слід розуміти, що вони ніяк математично не обґрунтовані.

Бажання звести все до чисел, бажання спрощення аналізу поде­куди призводить до того, що виконуються такі операції, які в порядко­вій шкалі не допускаються. Наприклад, при вступі до вузу інколи вра­ховують середній бал по всіх предметах, які вивчали у школі. Слід ро­зуміти, що таке порівняння не має ніякого математичного обґрунтуван­ня, адже кожна школа дає різний рівень знань, та й знання з різних пре­дметів між собою не порівнюються. Для порядкових шкал допускається обраховувати тільки порядкові номери (їх деколи називають рангами). У цій шкалі допускається виконувати такі операції, як порівняння ран­гів, розрахунок середнього рангу, визначення кількості об' єктів з одна­ковими рангами, визначення коефіцієнтів рангової кореляції

Існує цілий ряд рангових шкал (порядкових шкал) , які широко прийняті в практиці. Розглянемо деякі з них:

• 12 - бальна шкала енергії землетрусів за Ріхтером. Вона встано­влює силу землетрусу залежно від виділеної енергії;

• 12 - бальна шкала оцінки сили вітру, запропонована англійсь­ким гідрографом Бофортом, оцінює силу вітру за характером хвиль, що виникають на морі. У ній повній відсутності вітру відповідає оцінка 0 балів (штиль), а найбільший бал 12 відповідає урагану;

• 10 - бальна шкала твердості мінералів Мооса, в якій самим м' яким мінералом є тальк, а найтвердішим - алмаз;

• дуже поширені бальні оцінки знань учнів, у школі була 5 - ба­льна і тепер вводиться 12 - бальна, у вузі 4-бальна.

Шкала порядків (рангова шкала) широко використовується при вирішенні багатьох технічних завдань, проведенні технологічних експе­риментів, як, наприклад, вибір складу різних сумішей, визначення ре­жимів обробки деталей, переваг шин коліс тролейбуса, виготовлених різними заводами, тощо. Рангові шкали часто використовують і рангові критерії у багатьох випадках відіграють головну роль. Перевагою ран­гових критеріїв у багатьох експериментальних дослідженнях є їх уні­версальність. Вони не зв' язані з певними параметрами функцій розподі­лу і висновки, одержані з їх використанням, мають універсальний хара­ктер. У деяких практичних питаннях оцінка за ранговою шкалою має перевагу навіть порівняно з вимірюваннями у більш сильних шкалах. У нашому курсі при виконанні лабораторних робіт часто використовують­ся рангові критерії, причому навіть у тому випадку, коли можна скорис­татися більш сильною шкалою вимірювань. Теорія рангових критеріїв останнім часом набула досить широкого розвитку і активно розвиваєть­ся [38].

У деяких випадках виникає необхідність надати порядковій шкалі характеру більш сильних шкал, тобто ввести певною мірою можливість визначення відносної переваги одного об' єкта над іншим. У таких ви­падках застосовують модифіковані порядкові шкали. До них відносить­ся порядкова шкала Черчмена і Акоффа, що використовується в соціо­логічних дослідженнях.