Лекція 1.1.3. Розв'язання задач на топографічному плані

1. Вимірювання довжин ліній.

2. Визначення прямокутних координат точок.

3. Визначення висот точок, перевищень, крутості скатів.

4. Вимірювання дирекційних кутів.

5. Побудова профілю місцевості за горизонталями.

6. Розв'язання прямої і оберненої геодезичних задач.

Вимірювання довжин ліній

Для вимірювання прямих відрізків ліній на карті або плані використовують масштаби: чисельний, лінійний, поперечний. Відрізки ліній вимірюють за допомогою лінійок або вимірників. Шукане горизонтальне прокладення £ обчислюють як добуток довжини відрізка /, вимірюваного на плані, й знаменника масштабу М.

£ = / ■ М. (3)

Наприклад, на плані масштабу 1:2000 накреслена пряма лінія АВ, довжина якої виміряна лінійкою і складає 1 = 44 мм. Тоді довжина лінії АВ на місцевості, відповідно до формули (3) буде дорівнювати

БАВ = 44 ■ 2000 = 88000мм = 88м.

Щоб не зосереджуватися на

_      ^ ^       -\   . 40 20 0 40 ЗО

обчисленнях, довжину лінії можна визначити за допомогою лінійного масштабу. Наприклад, довжина основи масштабу, зображеного на рис. 16, складає 40 м. Ціна найменшої поділки крайньої лівої основи масштаба дорівнює 4 м.

Відрізок беруть в розхил циркуля-вимірника і прикладають до лінійного масштабу, як показано на рис. 16.

Рис. 16 - Вимірювання довжин ліній

Довжина лінії на місцевості буде дорівнювати числу метрів, підписаних над поділкою, з якою співпала права ніжка циркуля-вимірника (80 м), і числу метрів, які вміщуються між нулем і лівою ніжкою циркуля-вимірника (8 м).

8АВ = 80 м + 8 м = 88 м.

З метою підвищення точності вимірювань використовують поперечний масштаб (рис. 17). Для масштабу 1:2000 основа поперечного масштабу (2 см) буде дорівнювати 40 м. Одна десята частина основи дорівнює 4 м, одна сота частина основи - 0.4 м. Взявши в розхил циркуля-вимірника відстань між точками А і В, прикладають циркуль-вимірник до поперечного масштабу, суміщають праву ніжку з перпендикуляром, який відповідає 80 м. Переміщуютьциркуль-вимірник уверх доти, доки ліва ніжка не співпаде з однією з похилих ліній лівої основи.

 

В такому випадку довжина лінії АВ складатиме суму відрізків, які дорівнюють:

числу цілих основ (а) 2 • 40 = 80 м;

числу десятих частин основи (п) 1 • 4 = 4 м;

числу сотих частин основи (т) 9 • 0.4 = 3.6 м.

Тобто

БАВ = 80 м + 4 м + 3.6 м = 87.6 м.

Визначення прямокутних

Прямокутні координати точок (х, у) визначають відносно ліній координатної сітки. Для цього спочатку визначають координати хі та уі південно-західного кута квадрата, в якому знаходиться точка. З даної точки опускають перпендикуляри на західну та південну сторони квадрата і за допомогою чисельного або поперечного масштабу визначають їх довжину, отримуючи таким чином прирости Ах и Ау (рис. 18).

Тоді прямокутні координати х, у заданої точки визначаються за формулами

Хк —    ~\~ /Лх,

координат точок

 

 (4)

де хі, Уі - координати південно-західного кута координатної сітки;

Ах, Ау - прирости координат заданої точки відносно південно-західного кута.

Визначення висот точок, перевищень, крутості скатів

Висоти точок визначають за горизонталями. Якщо точка знаходиться на горизонталі, її висота дорівнює висоті даної горизонталі. Якщо точка знаходиться між горизонталями (рис. 19), то її висоту (Н) визначають за формулою

H = H 0 + к,

(5)

де

Н0 - відмітка найближчої до точки горизонталі; к - перевищення точки над горизонталлю. Враховуючи, що висота між сусідніми горизонталями змінюється пропорційно закладенню, для обчислення перевищення (її) використовують формулу

а ,

(6)

де   й - закладення;

а - відстань від точки до найближчої горизонталі; квс - висота перетину рельєфу.

 

Якщо відомі висоти двох точок НА і НВ, перевищення між ними кАВ обчислюють за формулою

(7)

 

За обчисленим перевищенням к між початковою і кінцевою точками лінії і горизонтальним прокладенням й між ними можна визначити крутість ската. Мірою крутості скату лінії виступає її ухил і, який визначається тангенсом кута нахилу V.

Із рис. 20 випливає, що

і = tgv =

(8)

Іншими словами, ухил - це перевищення, яке припадає на одиницю горизонтального прокладення. Ухил виражається в процентах (%) або проміле (%о).

Вимірювання дирекційних кутів

Для вимірювання дирекційного кута лінії через її початкову точку проводять пряму, паралельну до осі абсцис. Вимірюють дирекційний кут геодезичним транспортиром за годинниковою стрілкою від північного напряму осі абсцис до напряму заданої лінії. При цьому центральну позначку транспортира суміщають з початковою точкою лінії (рис. 21).

Побудова профілю місцевості за горизонталями

Лінія, вздовж якої необхідно побудувати профіль місцевості, називається профільною лінією (на рис. 22 а це лінія АВ). На профільну лінію накладають смугу міліметрового паперу, і на ній позначають виходи всіх горизонталей і їх відмітки.

Потім цю смугу переносять на сітку профілю, підписують відмітки горизонталей і проводять перпендикуляри з усіх точок. В масштабі профілю відкладають висоти точок на відповідних перпендикулярах. Кінці перпендикулярів з'єднують ламаною лінією, яка є зображенням профілю місцевості (рис. 22 б). Для кращого сприйняття і підвищення точності вертикальний масштаб беруть в 10 разів крупніший за горизонтальний.

Розв'язання прямої і оберненої геодезичних задач

Сутність прямої геодезичної задачі полягає у визначенні прямокутних координат кінцевої точки лінії за відомими координатами початкової точки, дирекційним кутом лінії і горизонтальним прокладенням.

Координати точки 2 (рис. 23) можна обчислити за формулами

72 = 7 + А7Х_ 2.

Прирости координат АХ та А7, відповідно до рис. 23, визначають за формулами:

АХ1_2 = й1_2 ■ собсі^2, (10) А71_2 = й1_2 ■ БІпа1_2.

Під час винесення проекту забудови на місцевість виникає необхідність розв' язання оберненої геодезичної задачі. Її сутність полягає у визначенні довжини лінії і її дирекційного кута за відомими координатами початкової і кінцевої точок лінії.

Спочатку обчислюють румб лінії за формулою:

г =

А71

1_2

АХ

1 2

7 _ 7

21

Х2 Х1

(11)

Рис. 23 - Геометрична схема прямої і оберненої геодезичних задач

Далі за знаками приростів визначають чверть, в якій знаходиться румб (табл. 1), і за формулами (2) обчислюють дирекційний кут.

Таблиця 1 - Знаки приростів координат

I четверть   II четверть    III четверть    IV четверть

+АУ +АХ

+ АУ - АХ

- АУ

- АХ

- АУ + АХ

Довжину лінії обчислюють за теоремою Піфагора:

й = 7(X2 _ Х1)2 _ (72 _ 7)2,

(12)