7.7. Вимірювання різниці відстаней за допомогою ефекту Доплера

Доплерівське зміщення частоти електромагнітних хвиль визначається швидкістю джерела й приймача хвиль відносно одне одного. Пов' яжемо з приймачем світла початок координат інерціальної системи відліку К, а з приймачем - початок координат системи К (рис.7.5.). Осі х і х направимо вздовж вектора швидкості и, з якою система К' рухається відносно системи К (тобто приймача).

Рівняння плоскої хвилі,  що  випромінюється джерелом  в напрямі приймача, в системі К' має вигляд

- ^/ Е (х у) = А соъ сс (і' +—) + а

(7.12)

с

де со - частота хвилі, що спостерігається в системі відліку, пов'язаній з джерелом. Оскільки ми вважаємо, що електромагнітна хвиля поширюється у вакуумі, фазова швидкість дорівнює с.

Від джерела до приймача хвиля поширюється в напрямі, протилежному

х

осі х , тому перед — стоїть знак плюс. Згідно з принципом відносності закони

с

природи мають однаковий вигляд в усіх інерціальних системах відліку (ІСВ).

Таким чином, в системі К хвиля описується рівнянням

Е ( х, і) = А св8

со і + — + а

(7.13)

де со - частота, що сприймається приймачем частоти в системі К. Нагадуємо, що швидкість с однакова в усіх інерціальних системах відліку.

Рівняння хвилі в системі К можна отримати з рівняння в системі К ', переходячи від х , і ' до х і і за допомогою перетворень Лоренца, тобто згідно з формулами

V

,    (х-V і)

х =  , -

V2

[ і-(      ) х]

ґ=-  с 2

1 -

(7.14)

1 -

V

Якщо підставити значення (7.14) в рівняння (7.12), то після незначних перетворень отримаємо

2

2

2

с

с

(О ( 1 — ) ( І + — )

Е ' ( X , І ) = Л [­

+ а ].

(7.15)

1 -

V

Рівняння (7.12) і (7.15) описують у системі К одну й ту ж хвилю. Таким чином повинно виконуватися співвідношення:

о =

о (1—) с

1 -

V2

(7.16)

Швидкість у цій формулі є величина алгебраїчна. При віддаленні джерела від приймача V > 0 і згідно до (7.16) о<(о при наближенні v < 0 і о> (о. У випадку, якщо v << с формулу (7.16) можна переписати у вигляді

О»О( 1 - — ) (1 - — ) = О( 1 — + —^). 2 с       2 с с   4 с

(7.17)

Обмежуючись членами порядку V отримаємо

с

о = о( 1 — ), або -= — ,   (А о= о-о ).

с о с

Якщо хвиля відбивається від відбивача і знову повертається до джерела і

джерело працюючи в певний момент як    приймач приймає сигнал, то при

відносному переміщенні джерела-приймача й відбивача наближено отримаємо:

А о = 2v ос

для швидкості V (відносної швидкості) відповідно

с А о .ч1п,

v = - —-      . (7.18)

2 о

У методах вимірювання різниці відстаней, основаних на ефекті Доплера, за різницею частот визначають відносну швидкість. Починаючи з деякого опорного пункту спостереження (де розташований відбивач) визначається його пройдений шлях. Тому доплерівські методи годяться не для вимірювання відстаней, а для вимірювання зміни відстаней. Доплерівські методи мають важливе значення для розв'язання динамічних задач супутникової геодезії, точних інтерференційних вимірювань і супутникової навігації.