6. МАТРИЦЯ ОСОБЛИВИХ ПЕРЕТИНІВ

Перетином називають сукупність ребер, при розриві яких граф розпадається на дві незв' язані частини, однією з яких може бути навіть окремий вузол (в останньому випадку перетин називають канонічним).

На рис. 6.1 наведено приклад графа, перервними лініями показано розташування деяких можливих перетинів. Ребра графа позначені латинськими літерами, а перетини - номерами. Таким чином, до перетину 1, наприклад, належать ребра g, її, і", Ь. Перетини 3 і 4 представляють канонічні перетини, оскільки відділяють окремі вузли в якості однієї з частин, на які розділяється граф перетином. Зазначимо, що перервні лінії кожного перетину можуть бути зображені в замкненому вигляді, тобто ліній перетинів 1, 2, 3 їхніми продовженнями можуть бути замкнені і виглядати як лінії перетинів 4 і 5. При цьому нематиме значення, в який спосіб буде охоплена частина графа цим замкненим перетином. Замкнення лінії перетину буде для нас корисне при подальшому розгляді орієнтованих графів електричних систем.

 

Особливим перетином називається такий перетин, що містить в собі тільки одну вітку, а іншими ребрами цього перетину є зв'язки. На рис. 6.2 зображено граф з розподілом ребер на вітки і зв'язки, такими лініями показані особливі перетини. Дійсно, перетин 1 включає лише одну вітку Е1, а інші ребра Я1 Ь2 є зв'язки. Те саме можна сказати про перетин 2, 3, 4, утворені на основі гілок С1, С2 і Я2.

Отже кожна вітка утворює свій особливий перетин. Структуру особливих

перетинів можна відобразити за допомогою матриці особливих перетинів X. її стрічки відповідають віткам (або, точніше сказати, особливим перетинам, пов'язаним з цими вітками). Стовпці матриці X відповідають ребрам графа, які розподіляються на вітки і зв'язки. У кожній стрічці проставляються одиниці в тих стовпцях, які відповідають ребрам, що утворять зазначений перетин. Знак одиниці залежить від напряму ребра відносно лінії перетину, а точніше сказати, — поверхні перетину. Визначальну роль для напряму відносно поверхні перетину відіграє саме вітка перетину. її напрям приймають за позитивний, а напрями інших ребер-зв'язків порівнюють з позитивним. Співпадіння дає +1, а при неспівпадінні в матрицю записуємо -1. Із урахуванням зазначеного матриця особливих перетинів для графа, зображеного на рис. 6.2, може бути записана в такому вигляді:

 

Е1

С1

С2

Я2

Я1

Ы

Ь2

Л

Е1

+1

 

 

 

+1

 

+1

 

 

 

+1

 

 

-1

+1

 

 

С2

 

 

+1

 

 

 

+1

 

Я2

 

 

 

+1

 

-1

-1

-1

(6.1)

З' ясуємо знаки елементів на прикладі другої стрічки, якій відповідає особливий перетин через вітку С1. Ця вітка спрямована таким чином, що виходить із замкненої поверхні перетину(рис. 6.2). Цей напрямок приймають запозитивний. Зв'язок ІЛ співпадає з позитивним напрямком, тому в стовпці ІЛ записуємо +1, а зв'язок Я1 протилежний за напрямом і дає у своєму стовпці -1. Зрозуміло, що у стовпці самої вітки С1 слід записати +1, оскільки вітки завжди співпадають з позитивним напрямом, визначаючи його.

Для матриці особливих перетинів справедливе таке метричне рівняння:

ОІр = 0

де Ір — вектор струмів ребер. Для графа на рис. 6.2 отримуємо:

Е1  С1  С2 Я2 Я1 Ы  Ь2 Л

+1

 

 

 

+1

 

+1

 

 

+1

 

 

-1

+1

 

 

 

 

+1

 

 

 

+1

 

 

 

 

+1

 

-1

-1

-1

х

ІЕ1

ІС1 ІС2

ІИ2

ІЯ1

ІЬ1 ІЬ2

ІЛ

(6.2)

Виконуючи множення матриць, одержуємо:

ІЕ1 + Ш +І12 =0.

ісі - їш + кі       =0. (6.4)

ЇС2 + ЇЬ2 =0. ЇШ2 - ЇЬ1 - ЇЬ2 -ЇІЛ =0.

Ці рівняння є суто рівняннями за першим законом Кірхгофа. Звичне формулювання першого закону Кірхгофа застосовується до струмів, які збігаються у будь-якому вузлі. І дійсно, перші три рівняння можна співвіднести до відповідних вузлів. Але останнє рівняння не знаходить для себе ніякого відповідного вузла. Справа в тому, що воно записане для перетину і загальна форма першого закону Кірхгофа записується саме до перетинів. А перші три рівняння співпадають з вузловими, оскільки їх перетини є канонічними.

До речі, рівняння для перетину можна отримати шляхом лінійних еквівалентних перетворень рівнянь для вузлів, які охоплює поверхня перетину. Так, перетин 4 охоплює три вузли, рівняння для яких за першим законом Кірх гора мають вигляд:

-ЇЕ1-ЇК1-ЇЬ2=0;

+ЇягЇсгЇи=°:

+ ЇЕ1 + ЇС1 + ЇЯ2-ЇЛ=0.

Просумуємо ліві й праві частини усіх трьох рівнянь.

Перші два члени кожного рівняння взаємно знищуються і отримуємо:

що співпадає з рівнянням для перетину.

Розкладаючи у рівнянні (6.3) матриці на блоки, можемо записати:

ВЬ1Ь + ВСГ = 0.

(6.4)

Оскільки матриця В  завжди одинична, нарешті справедливе рівняння

Iв =- ВСГ. (6.5) Це рівняння виражає струми гілок через струми зв'язків. Для нашого випадку

 

Я1

Ы

Ь2

Л

 

 

 

-1

 

-1

 

 

 

 

=

+1

-1

 

 

X

іи

ІС2

 

 

 

-1

 

 

 

іК2

 

 

+1

+1

+1

 

іл

(6.7)

Виконуючи множення матриць, отримаємо:

іЕ1=~іЯ1 ~іЬ2 ;

ісі=іт ~іьі ;

ІС2=-ІЬ2;

іК2=іЬ1 + іЬ2 + іЛ1.

(6.8)

Ці рівняння можна вивести із системи (6.4), якщо в лівій частині залишити струми гілок, вони створюють систему незалежних рівнянь за першим законом Кірх гора для особливих перетинів.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1. Що називають перетином?

2. Як утворюється кожний особливий перетин?

3. З'ясуйте правила формування матриці особливих перетинів і поясніть на прикладі.

4. Які матричні рівняння можна записати за допомогою матриці особливих перетинів?