3. МАТРИЦЯ ІНЦИДЕНЦІЙ ТА її РІВНЯННЯ

Ребро і вузол називають інцидентними, якщо вони належать одне одному. Наприклад, для графа, зображеного на рис.2.3. ребро С2 інцидентне вузлам 3 і 5, а вузол 2 інцидентний ребрам Я1, Ы, С1.

Матриця інциденцій відображає топологію графа, тобто спосіб сполучення ребер у вузлах.

Будемо позначати матрицю інциденцій через А. Її стрічки відповідають вузлам, а стовпці - ребрам. Наявність інцидентності в матриці А будемо позначати за допомогою +1, коли ребро спрямовано від вузла, і -1 - коли ребро спрямовано до вузла. Якщо вузол і ребро не інцидентні, то відповідний елемент вважається нульовим і ця клітина матриці залишається пустою. З урахуванням зазначеного матриця інциденцій для графа, зображеного на рис.2.3 має вигляд :

А

 

Е1

С1

С2

Я1

Я2

Ы

Ь2

Л1

1

+1

 

 

+1

 

 

+1

 

2

 

+1

 

-1

 

+1

 

 

3

 

 

+1

 

+1

-1

 

-1

4

-1

-1

 

 

-1

 

 

+1

5

 

 

-1

 

 

 

-1

 

Наведена матриця охоплює всі вузли і називається повною матрицею інциденцій. Разом з тим раціонально розглядати скорочену матрицю інциденцій, складену для випадку, коли один з вузлів заземлено. Наприклад, при заземленому 4 вузлі відповідна йому 4 стрічка буде виключена, і скорочена матриця інциденцій має вигляд :

 

Е1

С1

С2

Я1

Я2

Ы

Ь2

Л

1

+1

 

 

+1

 

 

+1

 

А = 2

 

+1

 

-1

 

+1

 

 

3

 

 

+1

 

+1

-1

 

-1

5

 

 

-1

 

 

 

-1

 

У повній матриці інциденцій сума елементів кожного стовпця дорівнює нулю, тому із скороченої матриці інциденцій можна легко отримати повну. Для цього достатньо доповнити скорочену матрицю тією стрічкою, що відповідає заземленому вузлу, а елементи цієї стрічки вписати таким чином, щоб сума елементів повної матриці в кожному стовпці дорівнювала нулю.

За допомогою матриці інциденцій можна записати систему рівнянь за першим законом Кірхгофа, що має вигляд:

AIP = О,

P

де I - матриця-стовпець (або вектор) струмів ребер.

Беручи до уваги скорочену матрицю А, отримаємо незалежну систему рівнянь за першим законом Кірхгофа. Для схеми на рис.2.3 така система має вигляд :

ІЕ1

 

E1

C1

C2

R1

R2

L1

L2

J1

1

+1

 

 

+1

 

 

+1

 

2

 

+1

 

-1

 

+1

 

 

3

 

 

+1

 

+1

-1

 

-1

5

 

 

-1

 

 

 

-1

 

Здійснюючи операцію добутку матриць за правилом "стрічка на стовпець", дотримуємо систему рівнянь за першим законом Кірхгофа у скалярній формі :

Іеі + hl + І12  = О

tCl- iRl   + 1ll    = 0 tC2 + tR2~- hl- Jl = 0 - tC2  -   tl2  = 0

Розглядаючи граф, можна помітити, що ці рівняння записані для 1, 2, 3 і 5 вузлів. Ні одне з цих рівнянь не може бути отримане лінійною комбінацією інших рівнянь, таким чином ця система рівнянь є незалежною.

Друге матричне рівняння виражає напруги ребер через вузлові напруги відносно заземленого вузла :

X

де V - вектор напруг на ребрах (елементах);

V - напруги вузлів відносно заземленого; т

А  - транспонована матриця інциденцій.

Операція транспонування полягає в тому, що стрічки початкової матриці

т

А записують як стовпці транспонованої матриці А . Конкретно для графа на рис.3.2:

 

+1

 

 

 

 

+1

 

 

 

 

+1

-1

+1

-1

 

 

 

 

+1

 

 

+1

-1

 

+1

 

 

-1

 

 

-1

 

У1

2_ Уз

У5

X

Здійснимо операцію добутку матриць :

Уеі= Уі ; Ук2 = Уз ;

Усі= У2; Уп = У2- Уз ;

Ус2= Уз - Уз ; Уь2= Уі - Уз ;

Укі= Уі - У2 ; Ул = - Уз .

Для електроенергетичних розрахунків ці співвідношення мають не абияку користь. Справа в тому, що найбільш розповсюдженим методом аналізу режимів електричних мереж традиційно залишається метод вузлових напруг. Він дає змогу обчислити потенціали всіх вузлів відносно заземленого. Адже на цьому розрахунки не скінчаються, тому що треба визначати для кожного елемента (або ребра в графі системи) струм через нього, напругу на ньому і далі обчислювати потужність, що пов'язана з кожним елементом. Саме рівняння V = А V дозволяє обчислити напругу на кожному елементі. Поділивши напругу на елементі на його опір, отримаємо струм, що протікає через цей елемент. Добуток знайдених напруг і струму становить потужність, пов'язану з цим елементом.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1. Що відображає матриця інциденцій?

2. У чому полягає поняття інцидентності?

3. Який розмір має матриця інциденцій?

4. Поясніть порядок формування матриці інциденцій, навівши конкретний приклад.

5. Чим відрізняються повна і скорочена матриця інциденцій?

6. Як за скороченою матрицею інциденцій відновити повну?

7. Які топологічні рівняння можна записати, користуючись матрицею інциденцій?