1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ

Під системою розуміють сукупність елементів, які зв'язані між собою таким чином, що при їх взаємодії досягається задана мета. Таким чином, система, по-перше, характеризується конкретним складом елементів, що її створюють, і, по-друге, способом з' єднання, тобто зв' язку елементів між собою. Об' єднана в систему сукупність елементів набуває особливих якостей, яких позбавлений кожний окремий елемент. Саме ці нові набуті системою якості дозволяють їй виконувати функції заради досягнення поставлених цілей.

Електроенергетичні системи являють собою складні розгалужені електричні ланцюги, що складаються з великої кількості одиниць обладнання самого різноманітного призначення. Ці складові елементи працюють над перетворенням енергії з одного виду в другий (наприклад, механічної енергії в електричну, хімічної в електричну, світової в електричну). Вони здатні перетворювати параметри електричної енергії, змінюючи амплітуду й частоту змінного струму за допомогою трансформаторів та напівпровідникових перетворювачів електроенергії. Найпростішими можна визнати, скажімо, лінії електропередачі, що принципово являють собою елементарні провідники з міді чи алюмінію. Але при доскональному дослідженні навіть в цих відносно простих пристроях можна виявити досить складну картину протікання електромагнітних процесів. Тому електроенергетичні системи з повною підставою можна віднести до розряду складних систем. Складні системи класифікуються в дисципліні „системотехніка" за декількома ознаками - за кількістю елементів, що входять до складу системи (ця кількість може досягати 10 ^10 ), або за різнорідністю процесів, що мають місце при роботі системи (а в електроенергетичних системах можна знайти і теплові, і хімічні, і електромагнітні, і електромеханічні процеси, не говорячи вже про складні інформаційні процеси в системах керування), чи то за складністю режимів, у яких працює система (а в електроенергетичних системах різноманітні збурення можуть виникати навіть непередбаченими шляхами і приводити до складних умов роботи системи, особливо в аварійних режимах).

Слід також врахувати, що електроенергетичні системи (ЕЕС) є відповідальними за забезпечення виробничої діяльності та соціальної сфери суспільства. Вони є найбільш енергоспоживаючими і забезпечення безперебійної та економічної роботи цих систем є дуже важливим завданням. Тому щодо ЕЕС ставляться дуже високі вимоги з надійності, екологічності та ефективності роботи в цілому. Питання проектування ЕЕС і керування їх роботою постійно пов' язані з прийняттям оптимальних рішень, які можуть бути знайдені лише на основі детальних розрахунків режимів роботи ЕЕС.

Оскільки ЕЕС є складними, вони описуються великими системами рівнянь, які мають відповідно велику кількість невідомих змінних, в якості яких виступають струми й напруги в ЕЕС. У загальному випадку, рівняння ЕЕС являють собою системи інтегро-диференціальних рівнянь великого порядку. Наявність нелінійних елементів - напівпровідникових діодів, резисторів, розрядників, трансформаторів і реакторів з феромагнітними осердями, а також виникнення дугових розрядів -все це робить системи рівнянь нелінійними. Крім того, велика протяжність ліній електропередач вимагає брати до уваги не тільки часові, але й просторові координати. Це призводить до необхідності розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних. Розв'язання таких складних систем нелінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних, навіть у спрощеному вигляді, неможливо без застосування сучасної високопродуктивної обчислювальної техніки і програмних засобів моделювання.

Математичні моделі можуть являти собою деякі абстракції, поведінка яких подібна до поведінки фізичного об'єкту. Їх застосування дозволяє вивчити і запрогнозувати процеси, параметри та характеристики об' єктів, що моделюються. Звичайно, річ не йде про абсолютно повне відображення моделлю усіх властивостей початкового об'єкту (оскільки ними володіє лише сам об'єкт). Модель вважається корисною навіть в тому разі, якщо вона відображає тільки ті властивості, які цікавлять дослідника. З розвитком науки і техніки з'явилась необхідність і можливість в проведенні складних розрахунків їх режимів на моделях.

Спочатку використовували так звані фізичні моделі. Вони являють собою копію реального об'єкта, що виконана в іншому масштабі. Наприклад, при будівництві архітектурних комплексів і тепер використовують макети відповідних районів, що дають загальне уявлення про характер забудови і гармонійне сполучення її з ландшафтом і тими забудовами, що вже існують.

Відомими є фізичні моделі сонячної системи із зображенням у вигляді макету планет і траєкторій їх руху. Глобус уявляє собою зменшену модель земної кулі. У хімії застосовують макетні моделі молекул. Відомі моделі гідроспоруд, що дають уявлення про підтоплення району при будівництві запруди. Існують зменшені копії літаків, залізниць та ін. В електроенергетиці при навчанні застосовують лабораторні фізичні моделі зменшеної потужності, поведінка яких дає уявлення про процеси, що можуть відбуватися у реальних ЕЕС, потужність яких на декілька порядків більша, ніж лабораторних макетів.

Із розвитком математики опис характеру процесів у системах починає здійснюватися у вигляді математичних виразів. Початково відомі задачі з математики, фізики, механіки розв' язуються у вигляді символьних виразів, тобто математичних формул. Такі символьні методи дають наочне уявлення про характер поведінки об' єкта і дозволяють дослідити поведінку системи на основіаналізу отриманих формул. Яскравим прикладом могутності символьних моделей є відомі рівняння Максвелла, які описують поведінку електромагнітного поля. Геніальність відкриття Максвеллом цих рівнянь полягає ще в тому, що вчений отримав ці рівняння на основі абстрактних уявлень, навіть не маючи будь-якої апаратури для проведення експериментів. Такі експерименти були проведені лише через декілька десятиліть поспіль і повністю підтвердили математичні моделі Максвелла, щодо поведінки електромагнітного поля.

Однак використання символьних методів обмежується при ускладненні системи, коли її порядок збільшується. Навіть коли можна отримати символьні вирази, вони можуть стати такими громіздкими, що без засобів обчислювальної техніки неможливе їх застосування. Але більш важливіше, що при збільшенні розмірів системи може стати неможливим взагалі отримання символьного виразу для розв'язування системи. Типовою ситуацією є така, коли розв'язується диференціальне рівняння, порядок якого більше чотирьох. У такому випадку треба розв' язувати характеристичне рівняння. Воно являє собою алгебраїчне рівняння, корені якого дають уявлення про характер поведінки величин в динамічному режимі залежно від співвідношень між дійсними і уявними частинами коренів. Характеристичне рівняння потрібно розв'язувати при застосуванні класичного методу для розв' язування диференціальних рівнянь, коли за визначеними коренями характеристичного рівняння далі конструюється вид розв' язання. Коли задача розв' язується операторним методом, теж треба знаходити корені характеристичного рівняння. Воно являє собою алгебраїчне рівняння того порядку, який відповідає порядку диференціального рівняння або еквівалентної системи диференціальних рівнянь. З курсу шкільної математики відомі розв' язання алгебраїчного рівняння другого ступеня (квадратного) за формулами Вієтта. У довідниках з математики можна знайти досить громіздкі формули Кардано для розв' язання алгебраїчного рівняння третього ступеня (кубічного). Щодо алгебраїчного рівняння четвертого ступеня, то легко розв' язуються лише так звані біквадратні алгебраїчні рівняння четвертого ступеня (коли відсутні члени, відповідні до першого і третього ступеня). Повне алгебраїчне рівняння вище четвертого ступеня через радикали не може бути розв' язане, що довів видатний норвезький математик Абель своєю теоремою. Це означає що алгебраїчні рівняння вище четвертого ступеня не можуть бути розв' язані за допомогою відомих функцій і представлені в символьному вигляді.

Зазначені обставини суттєво обмежують значення символьних методів, цінність яких має, таким чином, теоретичне, навчальне значення. На практиці реальні системи мають порядки, які обчислюються десятками, сотнями (і більшими показниками), і отримання символьних розв'язань не тільки втрачає сенс у зв'язку з громіздкістю, а, враховуючи теорему Абеля, взагалі стає неможливим. Це вповній мірі відноситься і до ЕЕС, де теоретично кожна котушка індуктивності і кожний конденсатор на одиницю збільшують порядок системи. Для розв'язання рівнянь, де неможливо отримати символьні вирази, застосовують так звані чисельні методи, які, таким чином, є більш загальними, бо можуть застосовуватися для розв'язання систем скільки завгодно високого порядку. Чисельні методи є наближеними, вони не можуть надати абсолютно точний результат, як це роблять символьні методи. Але тут втішним слід вважати, що похибка в „нормально діючих" чисельних методах з відпрацьованими алгоритмами може бути зменшена до скільки завгодно малої величини. Цього можна досягти за рахунок збільшення кількості комп'ютерного часу, який витрачається для розв'язування задачі.

У чисельних методах, як це вже можна зрозуміти, відсутній кінцевий вираз для розв'язання (це присутнє в символьних методах). Хід розв'язування визначається обчислювальним алгоритмом. Останній являє собою послідовність обчислювальних операцій, виконання яких призводить, нарешті, до отримання результату розв'язання із заданою точністю. Як вже зазначалося, чим вища потрібна точність, тим більше потрібно витратити комп' ютерного часу. Років двадцять тому, коли комп' ютери діяли досить повільно, для отримання деяких результатів обчислювальні машини повинні були працювати десятки й сотні часів безперервно. Тепер, коли швидкість роботи комп' ютерів зросла у тисячі разів, відповідно скоротились і витрати комп' ютерного часу. Інтенсивно розвиваються так звані багатопроцесорні обчислювальні комплекси, які дозволяють розділити в часі обчислення й виконати їх паралельно, що ще більше підвищує швидкість проведення розрахунків на комп' ютерах. Таким чином, чисельні методи реалізуються алгоритмами і відповідними комп' ютерними програмами, які добре налаштовані, відтестовані й накопичені у математичних інтегрованих пакетах. Чисельні методи отримують чисельні значення початкових даних, обробляють їх за відповідними алгоритмами і віддають отримані результати також у вигляді чисел. Яскравим прикладом могутності чисельних методів стало відкриття в 1846 р. планети Нептун французьким астрономом Левер'є і англійським математиком Адамсом, яке вони кожний окремо здійснили шляхом теоретичних розрахунків, виходячи з факту відхилень траєкторій відомих планет сонячної системи. До речі, саме цей науковий подвиг спонукав і Максвелла повірити в могутність математичних моделей і обумовив його геніальні відкриття в теорії електромагнітного поля шляхом створення своїх моделей.

Майже єдиним обмеженням чисельних методів є обмеження оперативної пам' яті комп' ютера. Але вже сьогодні середній розмір пам' яті комп' ютера сягає (512 - 1024)МБ, що дозволяє розв'язувати навіть на персональних комп'ютерах досить серйозні задачі.

Для опису і відображення чисельних методів існують декілька способів. Найпростіший полягає в тому, що чисельні дії описуються словесно. Більш наочним є спосіб опису за допомогою графічних структурних схем, де операції позначаються у вигляді обчислювальних блоків, а лінії сполучення зі стрілками вказують послідовність обчислень та умови переходу від одного блоку до другого. Нарешті, з огляду на необхідність „порозуміння" комп'ютером обчислювальних процесів були запропоновані так звані алгоритмічні мови програмування (Фортран у 195б р., Алгол у 19б0 р., Паскаль у 1971 р., Бейсік у 19б4 р., Сі у 1978р.). За допомогою службових слів алгоритмічної мови спочатку визначають дані, необхідні для розв'язання задачі, а далі описують обчислювальні алгоритми, які забезпечують необхідні перетворення і обробку даних для отримання необхідних результатів.

Застосування програм на алгоритмічних мовах для комп'ютерної реалізації потребує спеціальних програм, що називаються компіляторами. Вони на основі тексту програми на алгоритмічній мові генерують двійковий код програми, який може виконувати комп' ютер. Найбільш поширеними є компілятори таких фірм, як Microsoft (MS Visual C++, MS Visual Basic) і Borland (Turbo Pascal, Delphi, Turbo C++, C++Builder).

Більш простими для розв' язання технічних задач, в тому числі і задач електроенергетики, представляються відомі математичні обчислювальні пакети, як MS Excel, MathCАD, MATLAB. Коротко характеризуючи ці пакети, можна зауважити, що всі ці програмні засоби забезпечені засобами програмування і готовими функціями та підпрограмами, а способи вживлення їх у систему дозволяють реалізувати обчислювальні алгоритми досить економічними і оригінальними способами. Розширення MATLAB, яке називається Simulink, дозволяє взагалі провести візуалізацію обчислювальних процесів і легко розв'язувати складні системи алгебраїчних і диференціальних рівнянь. Крім того у складі самого Simulink є засіб SimPowerSystem, що дозволяє створювати моделі електричних систем, максимально наближених до реальних систем електроенергетики. З урахуванням цього, при вивчені математичних задач електроенергетики, слід прагнути до якмога найширшого використання зазначених програмних засобів.