12.СИСТЕМНА МАТРИЦЯ ТА її ХАРАКТЕРИСТИЧНЕ РІВНЯННЯ

Метод змінних стану в загальному вигляді виражається формулою (9.3):

аХ

де / являє собою будь-яку функціональну залежність, яка визначає математично вплив X і 0 на похідні змінних стану. Цей вираз набуває конкретності у випадку лінійної системи, де завдяки властивостям лінійної системи вплив кожної складової є незалежним. Тому метод змінних стану можна представити виразом:

ах

— = АХ + Б<2 (12.1)

У цьому виразі А - квадратна матриця, порядок якої дорівнює кількості змінних стану. Ця матриця відображає вплив на похідні змінних стану самих змінних стану. Матриця В - це прямокутна матриця , кількість її стрічок дорівнює кількості змінних стану, а кількість стовпців визначається кількістю джерел енергії. Ця матриця відображає вплив на похідні змінних стану саме джерел електричної енергії 0.

Матриця А називається системною матрицею, вона віддзеркалює внутрішні властивості системи. Матрицю В називають матрицею збурень, вона віддзеркалює вплив зовнішніх джерел енергії на поведінку системи. Якщо вектор 0 зробити нульовим, то система буде знаходитися у стані вільного руху, і у випадку наявності в ній енергії (ненульової напруги на конденсаторі або ненульового струму в індуктивності) буде рухатися під впливом цієї енергії. Реальні системи завжди мають у своєму складі елементи, які витрачають енергію, перетворюючи її, наприклад, у тепло, яке розсіюється в навколишньому середовищі. В електричних системах такими елементами є резистори. Навіть коли в реальній системі не ввімкнено навмисно резисторів, вони фактично присутні в конденсаторах, індуктивностях, провідниках, що сполучають елементи в систему, тощо. Внаслідок безумовної присутності резисторів у реальних електричних системах енергія в них під час вільного руху буде завжди зменшуватися з часом, асимптотично наближаючись до нуля. Системи, в яких енергія під час вільного руху втрачається і розсіюється, називаються дисипативними. Властивості системи можуть бути дослідженні за допомогою системної матриці.

Матриці А і В можна виділити, розглядаючи систему рівнянь за методом змінних стану. (9.30) - (9.33), які зручно записати, розкривши дужки:

с1 =--Усі--іп +--УЕ;

% = --к2 (12.1)

-— = - V--і. 7--2 7--2 1 '

(ЛІ _/_/!

(/г2 1 т, Я2 . Я2 . 1 т, і?2 . —22 = — V--- 7--- 7   +--V--- 7

Ці рівняння можна подати за формою (12.1):

 

 

 

 

С1

С2

Ь1

и

 

Е1

І1

 

 

1

 

1

 

 

У»

 

1

 

йі

 

СА

 

 

 

 

 

 

 

ЖС2

=

 

 

 

1

X

Ус2

+

 

 

&кі

 

1

 

*2

 

 

Їь1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

її

 

 

 

1

 

 

 

Їь2

 

1

 

 

 

 

Т2

ї-2

ь2

 

 

її

1*2

Уе1

(12.2)

Еквівалентність (12.1) і (12.2) можна довести, розкривши в (12.2) операції матричного множення. Отже для зазначеної системи маємо:

с1       с2 и1

А=

1

1

 

СА

 

 

 

 

1

~С~2

і

 

Ег

її

її

її

1

1 __*±

Ег

Е1 І1

(12.2)

1

СА

 

 

 

 

'її

1

Т2

І2

(12.2)

X

Важливими показниками системи, які визначаються за допомогою системної матриці , є так звані власні значення системної матриці. Вони можуть бути отримані шляхом складання характеристичного рівняння і знаходження коренів при його розв'язанні. Операції, пов'язані з характеристичними рівняннями, можна пригадати з розділів вищої математики, присвячених лінійним диференціальним рівнянням. Якщо розглядається лінійне диференціальне рівняння п-го порядку, то характеристичне рівняння складається з коефіцієнтів лівої частини диференціального рівняння, а ступені оператора р характеристичного рівняння дорівнюють порядкам похідних при відповідних коефіцієнтах. Характеристичне рівняння являє собою алгебраїчне рівняння п-го порядку, розв'язавши його, отримаємо корені, від виду яких залежить конструювання аналітичних виразів розв'язання самого диференціального рівняння. У теоретичній електротехніці характеристичне рівняння розглядається при дослідженні перехідних процесів. За спрощеною методикою ліва частина характеристичного рівняння, тобто характеристичний поліном формується як операторний опір схеми відносно деякої пари затискачів, або як знаменник операторного зображення досліджуваної електричної величини в разі використання операційного обчислення. Але класичне визначення характеристичного рівняння випливає з матричного обчислення, де воно в загальному матричному вигляді визначається за формулою

де сій - означає розрахунок визначника матриці, яку отримують внаслідок здійснення операцій в дужках;

І - одинична матриця, порядок якої співпадає з порядком матриці А, для якої складається характеристичне рівняння;

р - оператор (змінна), відносно якого формується характеристичне рівняння.

Розглянемо формування характеристичного рівняння для спрощення схеми, зображеної на рис.12.1.

сС^ (А - рі )= 0

(12.4)

 

Рис. 12.1.в)

б)

 

г)

 

д) е)

У цьому випадку маємо такі вектори змінних стану і заданих величин джерел:

Х=

0=

Ує

її

Рівняння стану в скалярній формі:

1

(

йі С

7ь     п  у7с ІJ (12.5)

У матричній формі ці рівняння мають вигляд:

 

 

1

1

 

 

СН2

С

 

 

1

«і

гіг

 

1

Уе +

 

1 ~с

1

І

 

її

А=

Звідси видно, що системна матриця:

е ь

1

СЯ.

1

С

1

 

Утворимо характеристичне рівняння за зразком виразу (12.4):

(Іе1(     - р   ) =

1

1

с

1

' 1

Звідки отримаємо:

0.

СЯ2

Р

1

1

 

 

1

]_

С

ь

Р =0.

Розкриття визначника приводить до рівняння:

-+ р \ — + р І +-= 0.

СЯ2    к ь    ) сь

(12.6)

(12.7)

(12.8)

Розкриваючи дужки і здійснюючи угрупування, отримаємо рівняння

Р2 +

СЯ2

+

ь

(

р+

сь сья1 0,

(12.9)

яке і представляє характеристичне рівняння системної матриці А.

Існують методи формування характеристичного рівняння на основі розгляду топологічних характеристик системи. Одним з найважливіших є поняття визначникане спрямованого графа, який можна знайти розглядом усіх можливих дерев графа. Величина дерева дорівнює добутку провідностей усіх ребер, які створюють дерево. Визначник неспрямованого графа підраховують як суму величин всіх можливих дерев графа. Для конденсаторів і індуктивностей при

х

X

1формуванні характеристичного рівняння слід використовувати операторні

провідності рС і —. У графі електричної системи джерела напруги слід

рЬ

закоротити, а джерела струму розірвати, таким чином деактивувавши всі

джерела електричної енергії. Граф схеми на рис.12.1 для складання визначника

представлений на рис.12.2,а, а усі можливі дерева зображені на рис.12.2,б-е.

Просумуємо величини цих дерев і суму прирівняємо до нуля:

1        1     РС   С 1

-+-+-+ — +-= 0

РЬЯ1    Я1 і2    Я1    Ь РЬЯ2

Помножимо обидві частини нарі-:

С

— + р-+ р + р — +—— = 0.

СЬ     Сі?2 Ь СЬЯ2

Це рівняння вже легко приводиться до вигляду (12.9). Розглянемо характеристичний поліном в матричному і скалярному вигляді:

(А - рі) = рп + а1 рп-1 + а2 р"~2 + ...ап-0 р + ап

Якщо вважати в характеристичному поліномір=0, то отримуємо:

А = ап ,

тобто вільний член характеристичного поліному дорівнює визначнику матриці.

Запишемо характеристичний поліном у вигляді добутку:

(р - р1)(р - р2). . .(р - рп-1)(р - рп) = det(А - рІ)

дері,р2, ... рп - корені характеристичного рівняння. Поклавши знову р=0, одержимо:

(-       (р1р2...рп-1рп )= det(A)= ап . (12.10)

Цей вираз показує, що коефіцієнт ап дає оцінку добутку коренів характеристичного рівняння.

Якщо розкрити характеристичний поліном, записаний у вигляді добутку, то можна виразити коефіцієнти при різноманітних ступенях р через корені характеристичного рівняння. Найпростіше обчислити коефіцієнт при рп-і, який дорівнює:

а =-(р1 +р2 +...+рп).

Розкривши визначник |А - рі|, можемо помітити, що цей коефіцієнт з від'ємним знаком дорівнює сумі діагональних елементів матриці А:

а1 =-(а11 + а22 + ... + апп ).

Звідси можна дійти висновку, що суму коренів характеристичного рівняння становить сума діагональних елементів матриці А:

Рі + р2 + - + Рп = С11 + С22 + - + Спп , (12.11)

що також дає оцінку коренів характеристичного рівняння.

Для систем другого порядку характеристичне рівняння має вигляд

р2 + а1 р + а2 = 0 ,

отже враховуючи зазначене вище, легко знайдемо коефіцієнти характеристичного рівняння.

Для системної матриці рівняння (12.5) коефіцієнт а} отримуємо, сумуючи діагональні члени з від'ємним знаком:

а1

І

1

- + -

Я

СЯ2    L)   СЯ2 L Для знаходження а2 треба обчислити визначник матриці А:

det

 

1

1 С

CR2

1 L

«і L

Я

- + -

CLЯ2 CL

Ці результати співпадають з (12.9).

У теорії матриць сума діагональних елементів називається слідом матриці і позначається через Tr(A) або Sp(A) (trace, spoor (англ.) - слід). Позначимо через Тк слід матриці Ак, тобто

Tk = Tr (Ak).

Тоді коефіцієнти характеристичного рівняння можуть бути знайдені за допомогою наступних рекурентних формул Бохера:

оі =-Ti =-Tr( A), 2 (оТ1 + T2 ) = -1,

3 (о2T1 + °1T2 + T3 ) = - 3

о2 = -^ (oiT + T2) = - ^ [oiTr (A) + Tr (A2 j 03 =-1 (о 2T + OiT2 + T3 ) = -1 [o2Tr (A) + OiTr (A2)+ Tr (a3 j

1

0n =--(0n-1T1 + 0n-2T2 + ... + °1T„-1 + Tn ).

n

Ці рекурентні формули надзвичайно ефективні для комп'ютерного обчислення коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Сформуємо характеристичне рівняння для розглянутого вище прикладу за допомогою рекурентних формул Бохера:ск3 ь

Для коефіцієнта а2 слід визначити А2 і Тг(А2) = Т2. А2 обчислимо, помноживши А саму на себе:

А2=

 

1

1

с

 

си2

 

1

«і

 

1

1

 

1 1

1 я.

СЕ2

с

 

(ся2)2 сі

с2й2 а

1

«і

1

 

1 +«х

і йі

—+—

сі 1=

Тоді Т2 с2 я22 ~ сь + И

і

+ -1 ь А

1

 

1

2

_

 

1

ґ

 

2

V

сья2

1 я

1

2    Я21

сЯ2  ь) с2я21  сь ь

2    Я21

Я

я

т2~ + п2В 2

- + -

я,

сья2 сь

Ці результати також співпадають із зазначеними в (12.9).

х

«2 =

2

2

1

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1. Як визначити системну матрицю, якщо відома система рівнянь за методом змінних стану?

2. Яким чином визначають характеристичне рівняння в матричній формі?

3. Поясніть топологічний метод обчислення коефіцієнтів характеристичного рівняння.

4. Які формули дозволяють обчислити коефіцієнти а1 і ап характеристичного рівняння?

5. Що називається слідом матриці?

6. З'ясуйте   використання   рекурентних   формул   для обчислення коефіцієнтів характеристичного рівняння.