9. МЕТОД ЗМІННИХ СТАНУ.

Будемо розглядати в першу чергу динамічні режими, тобто перехідні процеси, які є найзагальнішими. Саме з них можуть бути отримані не тільки графіки (часові діаграми) самих перехідних процесів, а й усталені режими - як для випадку живлення постійним струмом, так і для змінного, синусоїдального струму. Для цього достатньо провести розрахунки на досить великому інтервалі часу, щоб процеси заспокоїлись і залишилися лише та складова, яка обумовлена джерелами живлення. Такий метод (метод усталення) може бути досить витратним за комп'ютерним часом, але він є найпростішим.

Із відомих методів можна було б спробувати метод вузлових напруг або метод контурних струмів. Їх переваги в тому, що рівняння, які формуються за цими методами, містять менше невідомих змінних, ніж повна система рівнянь, складена з топологічних та компонентних рівнянь. Але, по-перше, ці рівняння вимагають додаткових обчислень для визначення струмів і напруг саме елементів. І, по-друге, при написанні цих рівнянь потрібно використовувати компонентні рівняння виключно в одній формі - або у імпедансній, або в адмітансній. Отже тому в рівняння обов'язково потрапляють і похідні, і інтеграли, тобто будуть отримані інтегро-диференціальні рівняння. В інженерній практиці традиційно перевага віддається диференціальним рівнянням, а інтегральні рівняння є предметом розгляду спецкурсів вищої математики в університетській фізико-математичній освіті. Тому найбільш раціональним є так званий метод змінних стану, який дозволяє отримати рівняння динаміки у вигляді диференціальних рівнянь, які виглядають до того ж у формі, зручній для подальших розрахунків на комп'ютерах.

В якості змінних стану обирають електричні величини (струми та напруги), які визначають запас енергії в системі. В електричних системах енергія накопичується в реактивних елементах - конденсаторах і котушках індуктивності. У загальному випадку енергії цих елементів визначаються зарядами конденсаторів і потокозчепленням котушок індуктивності. У разі розгляду лінійних систем задача спрощується, і в якості змінних стану використовують напруги на конденсаторах і струми через котушки індуктивностей.

Отже, маючи в системі т конденсаторів і п індуктивностей утворимо з названих величин вектор змінних стану:

Х=

Усі

УЄ2

Уст

ІЬ2

(9.1)

Крім того, зазначимо вектор заданих величин джерел, який буде складатися з напруг джерел напруги і струмів джерел струму. Якщо в системі маємо к джерел напруги і І джерел струму, то цей вектор буде мати вигляд:

0=

УЕі

Уе2

УЕк

Іл

(9.2)

Метод змінних стану вимагає скласти такі рівняння щоб похідні від змінних стану були виражені через самі змінні стану й задані величини джерел, тобто:

(9.3)

Формування таких рівнянь розглянемо на прикладі системи, граф якої зображений на рис. 2.3. У цій системі маємо кількість конденсаторів т = 2, кількість котушок індуктивностей п = 2, кількість джерел напруги к = і, кількість джерел струму 1 = і. Тому вектори змінних стану і заданих величин джерел будуть представлені таким чином:

Х=

Усі

УС2

Ііл

ІЬ2 (9.4)

0=

Уеі

Іл

(9.5)

Повна система рівнянь складається з отриманих раніше топологічних рівнянь (5.9) і (6.8), доповнених компонентними рівняннями. При складанні компонентних рівнянь будемо використовувати для резисторів - гілок імпедансну форму (8.1), для резисторів - зв'язків - адмітансну форму (8.2), а для   конденсаторів   і   котушок   індуктивностей   будемо використовувативиключно диференціальні рівняння з формул (8.4) і (8.5). З рештою матимемо таку повну систему:

Уяі = Уеі - Усі;

(9.6)

Уц = Усі - Уя2;

(9.7)

Уь2 = Уеі + Ус2 - Уя2;

(9.8)

Уіі = - Уя2;

(9.9)

Іеі = - Іяі - ІЬ2;

(9.10)

ісі = іяі- іьґ,

(9.11)

ІС2 = - ІЬ2',

(9.12)

ІЯ2 = ІЬІ + ІЬ2 +ІіҐ,

(9.13)

;

(9.14)

Уя2 = В-2 ІЯ2',

і    - с ^ С2 ~   2 & '

;

" ~     & '

(9.15) (9.16) (9.17) (9.18) (9.19)

Звернемо увагу на останні 4 рівняння, які містять у правих частинах похідні від змінних стану. В лівих частинах цих рівнянь фігурують змінні Їс2, Уїл, УЬ2 Ті самі змінні знаходяться в лівих частинах рівнянь (9.11), (9.12), (9.7), (9.8) відповідно. Тому можемо скласти рівняння, порівнявши праві частини відповідних рівнянь, після чого отримаємо:

<-:—=  ,.- (9.20)

С2^=-Ч2, (9.21)

Ьі^= УС1-УВ2, (9.22)

Ь2^= Уеі + Ус2-У*2 (9-23)

Отримані рівняння подібні до потрібних рівнянь за методом змінних стану. Лише дві речі заважають цим рівнянням набути потрібної форми (9.3):

1) В лівих частинах містяться коефіцієнти Ь2 - ця перешкода легко

може бути усунута переносом цих коефіцієнтів в знаменник правих частин;

2) В правих частинах окрім змінних стану X і заданих величин джерел 0 (див. (9.4) і (9.5) фігурують „зайві", небажані резистивні величини - іК1 і УК2. Для того щоб позбутися цих небажаних величин, треба виразити їх через дозволені змінні стану X й задані величини джерел 0. Для цього в загальному випадку слід використати ті рівняння з повної системи рівнянь (9.6) - (9.19), які не були зачеплені попередньою операцією формування рівнянь (9.20) - (9.23). У цих рівняннях резистивні величини слід вважати невідомими і перенести в ліві частини, а змінні стану X і задані величини джерела 0 вважати відомими і заданими, і перенести їх у праві частини. Після цього слід розв'язати отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно резистивних величин, виразивши їх через змінні стану X і задані величини джерел 0. Для конкретного випадку можна скористатися рівняннями (9.6), (9.13), (9.14) і (9.15), представивши їх у вигляді, відповідному до сказаного вище:

Уяі = Уві - Усі; (9.24) ІЯ2 = кі + іь2 + Ьі; (9.25)

-Г.::        = іі (9.26)

Уя2 - Я2 ІЯ2 = 0 (9.27)

Розв'язуючи ці рівняння, отримаємо:

£*і =^(уеі   усі) (9 28)

Уя2 = Я2 (їй + И2 + Ьі) (9.28) З урахуванням цього рівняння (9.20) - (9.23) набудуть вигляду:

^ = к^-Усд-і4 (9-30)

^-—■„; ; (9.31)

^ = Г [Ужі + Усг ~ К*(кі + Чг + (9 33)

Ці рівняння і представляють рівняння за методом змінних стану. Розв'язання цих диференціальних рівнянь дає змогу побудувати перехідний процес, що протікає в електричній системі. Для цього треба лише знати параметри системи, математичний опис характеру змін в часі заданих величин джерел електроенергії та початкові умови, що являють собою напруги на конденсаторах і струми через котушки індуктивностей в нульовий момент часу, тобто початкові значення змінних стану.

Звичайно, для розв'язання систем диференціальних рівнянь можна скористатися аналітичними методами з вищої математики. Але більший практичний інтерес становлять чисельні методи розв' язання подібних задач.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1. Які електричні величини відносяться до змінних стану і чому саме ці величини?

2. В якій формі треба скласти рівняння за методом змінних стану?

3. Що являють собою вектори Х і С) в рівнянні (9.3) ?

4. Яким чином можна виразити резистивні величини з рівнянь за методом змінних стану?

5. Проілюструйте вміння складати рівняння за методом змінних стану для електричної системи 3-5 порядку з 1-3 декількома джерелами електричної енергії (схеми скласти самостійно).

6. Від чого залежить кількість рівнянь за методом змінних стану?

7. Яка інформація потрібна для розв'язання рівнянь за методом змінних стану?