ЗАНЯТИЕ 5 Тема: Операции объединения и пересечения множеств.

I. Элементы теории.

1. Пересечением двух данных множеств А и В называется новое множество С, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Обозначается: АпВ=С, п - знак пересечения; или АпВ={х|хеА и хеВ}.

2. Если АпВ=0, то А и В называются непересекающимися; в противном случае множества А и В пересекающиеся.

3. Объединением двух данных множеств А и В называется новое множество С, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному множеству.

Обозначается: АиВ=С, и - знак объединения; или АиВ={х|хеА или хеВ}.

4. Операции объединения и пересечения можно проиллюстрировать кругами Эйлера (рис. 18).

 

а) В - АпВ; б) АпВ=0; в)   Щ АиВ.

Рис. 18.

5. Для операций объединения и пересечения справедливы законы:

1) АиВ=ВиА; АпВ=ВпА;

2) Ап(ВпС)=(АпВ) пС;  Аи(ВиС)=(АиВ) иС;

3) Аи0=А; Ап0=0;

4) Аии=и; Апи=А;

5) АиА=А; АпА=А.

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Пусть А - множество всех натуральных делителей числа 18; В -множество всех натуральных делителей числа 24. Найти множество общих дели­телей чисел 18 и 24; найти самый большой общий делитель.

Ответ. АпВ={1; 2; 3; 6}; (1=6.

Задание 2. Найдите пересечение множества А различных букв, входящих в слово "педагогика", и множества В, букв, входящих в слово "математика". Най­дите объединение множеств А и В.

Ответ. АпВ={а; е; и; к}, АиВ ={м; а; т; е; к; п; д; г; о}.

Задание 3. Пусть даны множества А, В, С. Найдите АпВ, АпС, ВпС, АиВ, АиС, ВиС, если:

1) А={2; 3; 8; 9}, В={16; 18; 20}, С=^

2) А=Ч В={-2; -1; 0; 1; 2}, С={3; 5; 7};

3) А={3; 4; 5; ...}, В=Ч С={-1; 0; 1; 2};

4) А={21; 22;    26}, В={3; 5}, С=^

5) А=г, В={2; 4; 6}, С=^

6) А={20}, В={2; 3; 4; 5}, С={5; 6; 10};

7) А=Ч В={-1; 0; 1; 2}, С={15; 16; 20};

8) А=г, В=Н С=С-

9) А={-1; 0; 1; 2}, В={2; 3; 4}, С= N.

Указание. Для решения пункта (9) целесообразно воспользоваться кругами Эйлера (см. рис. 14).

Задание 4. Постройте круги Эйлера для множеств А, В, С и укажите харак­теристическое свойство элементов множества АпВпС, если:

1) А - множество правильных многоугольников, В - множество треугольников,

С - множество четырехугольников;

2) А - множество параллелограммов, В - множество прямоугольников,

С - множество четырехугольников;

3) А - множество прямоугольных треугольников, В - множество равнобедренных треугольников, С - множество равносторонних треугольников;

4) А - множество прямоугольных треугольников, В - множество равнобедренных треугольников, С - множество треугольников.

В каждом из случаев выделите на чертеже область, изображающую множест­во АпВпС, и начертите фигуру, принадлежащую этому множеству.

Задание 5. Три множества А, В и С изображены тремя прямоугольниками, имеющими общие части (рис. 19). Отметьте штриховкой области, изображающие следующие множества: 1) ВпС; 2) АпВ; 3) АпС; 4) АпВпС; 5) (АпВ)п(ВпС).

Указание. Для каждого случая надо сделать отдельный чертеж.

А

Вс

Рис. 19.

Задание 6. Изобразите с помощью кругов Эйлера множества А, В, С, если Аси, Вси, Сси и известно, что:

1) АсВ, ВсС;

2) АсС, ВсС и С=АиВ;

3) АсС, ВсС и АпВ=0;

4) АсС, ВсС и АпВ*0;

5) АпВ*0, АпС*0, ВпС*0, АпВпС=0;

6) АпВ=0, АпС*0, ВпС=0.

Задание 7. Найти пересечение и объединение множеств:

1) [3; 4] и [2; б];       5)(-1; 3) и (-4; 2];

2) (-2; 1] и [-2; 0);      б)(-о; 3) и (-1; оо);

3) (2; о) и [-1; 3];       7) [0; 2] и [1; 3);

4) (-о; 3] и (-1; +оо);   8) [-1; 4] и (2; 5].

Указание. Для решения использовать числовую прямую (3) (рис. 20).

Задание 8. Туристическая фирма продала путевок в санатории в три раза меньше, чем в пансионаты, но на 88 путевок больше, чем на турбазы. Сколько всего продала фирма путевок, если в пансионаты продано на 312 путевок боль­ше, чем в санаторий.

Указание. Целесообразно воспользоваться схематическим рисунком (рис. 21).

 

3

0 2

(2; оо)п[-1; 3]=(2; 3]; (2; оо)и[-1; 3]=[-1; «>)

Рис. 20

С.

88 п.

312 п.

П.

 

Т.

Рис. 21

IV. Задание на дом.

Повторить теоретический материал: Операции объединения и пересечения множеств.

Задание 1. Найдите объединение и пересечение множеств А и В, если:

1) А={20; 21}, В={1; 2; 3}; 3) А=Ъ, В={-1; 0; 1; 2; ...};

2) А={3; 5; 6}, В=2; 4) А={2; 3}, В=К

5) А=[-2; 3], В=(1; 5]; 8) А=[-2; 0], В=[1; 2);

6) А=[-1; 4], В=[1; 2); 9) А=(-о; 4], В=[5; о);

7) А=(-о; 2), В=[-3; о);       10) А=(-2; -1), В=(0; 1).

Указание. Для каждого из примеров 5) - 10) задания 1 необходимо изобра­зить множества А и В на числовой прямой.

Задание 2. Пусть 8 - множество правильных многоугольников, Т - множест­во прямоугольников. Из каких фигур состоит пересечение и объединение мно­жеств 8 и Т?

Задание 3. На элеватор поступило 720 т зерна, при этом пшеницы поступило в два раза больше, чем ржи, а овса в три раза меньше, чем ржи. Сколько посту­пило на элеватор зерна каждой культуры?

Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 22).

Ответ. На элеватор поступило 72 т овса, 216 т ржи, 432 т пшеницы.