ЗАНЯТИЕ 4 Тема: Подмножество. Множества равные и неравносильные.

I. Элементы теории.

1. Множество В называется подмножеством (правильной частью) множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Обозна­чается: ВсА. Говорят, что имеем отношение включения (множества В в множе­ство А).

2. Подмножества можно проиллюстрировать кругами Эйлера (рис. 13).

3. Кругами Эйлера можно проиллюстрировать включение стандартных чи­словых множеств (рис. 14).

4. Универсальным множеством называется такое множество, для которого любое данное множество является подмножеством. На рисунке 13 множество Я -универсальное. Обозначается универсальное множество - и.

5. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Обозначается: А=В.

6. Соответствие между элементами множеств А и В называется взаимноод­нозначным, если каждому элементу множества А соответствует один и только один элемент множества В и обратно, если каждому элементу множества В соот­ветствует один и только один элемент множества А.

7. Множества А и В называются равносильными, если между их элементами можно установить взаимооднозначное соответствие. Обозначается: А ~ В.

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Установите, какое из подмножеств А или В является подмноже­ством другого множества, если:

1) А={1; 2; 3; ... 10}, В={2; 4; 6 ;8};

2) А={2; 4; 6; 8; 10}, В - множество чисел первого десятка;

3) А - множество четных однозначных чисел, В - множество однозначных чисел, кратных 4;

4) А- множество двузначных натуральных чисел, В - множество четных дву­значных чисел;

5) А=г\Г, Б=К0; 6) Л=г\Г, В=г; 7) Л=Я, В=Ъ.

Ответ. (1) ВсА; (2) АсВ; (3) ВсА; (4) ВсА; (5) АсВ; (6) АсВ; (7) ВсА.

Задание 2. Пусть А - множество прямоугольников, В - множество ромбов, С - множество квадратов.

Докажите: 1) В с С; 2) СсВ; 3) СсА.

Задание 3. Пусть А= {225; 165; 144; 24}. Составьте подмножества множества А, которые состоят из чисел: 1) делящихся на 5; 2) делящихся на 3; 3) делящихся на 12; 4) делящихся на 24; 5) делящихся на 7.

Задание 4. Какие из следующих пар множеств связаны между собой отноше­нием включения? Изобразите их на числовой прямой:

1) А={х|хєЧ х>3}, В={у|уєТТ, у>2};

2) А={х|хєЯ, х<2}, В={у|уєЯ, у<4};

3) А={х|хєЯ, -2< х <4}, В={у|уєЯ, 1<у<2};

4) А={х|хєТТ, 1< х <5}, В={у|уєЯ, 1< у <5}; Задание 5. Верны ли записи:

1) {1; 4}с{{1; 4; 3},{1; 2}, 4; 1};

2) {1; 4}є{{1; 4; 3},{1; 2}, 1};

3) {1; 3}є{{1; 2; 3},{1; 3}, 1};

4) {1; 5}с{{1; 2; 5},{1; 5}, 1; 2}? Поясните свой ответ.

Ответ. (1) да; (2) нет; (3) да; (4) нет. Задание 6. Выпишите пары равных множеств:

1) А={ф; в; с}, В={в; ф; с};

2) А={1; 2; 3}, В={1; II; III};

3) А= ТЧ, В - множество натуральных чисел первого миллиона;

4) А=[2; 3], В= {2; 3};

5) А={х|хєТТ, 2<х<10}, В={у|уєг, 2<у<10};

6) А={х|хєг, -3<х<5}, В={у|уєЯ,-3< у<5};

7) А - множество всех квадратов, В - множество всех прямоугольников с рав­ными смежными сторонами;

8) А=(-2; 3], В=(-2; 3). Поясните свои ответы.

Задание 7. Выпишите пары равносильных множеств:

1) А={а; Ь; с}, В={Ь; с; а};

2) А= {1; 2; 3}, В=Я; II; III};

3) А={1; 2; 3; ... 10}, В -множество квадратов чисел первого десятка;

4) А={2; 1; {2; 8}; 8}, В={1; 2; 8};

5) А=ТЧ, В - множество всех четных чисел;

7) А=[1; 2], В=[2;3];

8) А={х|хєТТ, 2<х<5}, В={у|уєЯ, 2<у<5}. Поясните свои ответы.

Задание 8. Хлебозавод привез в магазин штучные изделия. Булочек весом по 250 г было в два раза меньше, чем батонов по 400 г, и в три раза больше, чем бубликов весом по 60 г. Общий вес всех изделий - 1 284 кг. Определить количе­ство изделий каждого вида.

Указание. Для решения целесообразно использовать схематический рисунок

(рис. 15).

750

Столько частей приходится на булочки весом по 250 г: 250-3=750.

- ~) 2400

Столько частей приходится на батоны по 400 г: 400-6=2400.

- 60

Столько частей приходится на бублики весом по 60 г: 60-1=60.

Ответ. Хлебозавод привез 400 бубликов, 1 200 булочек, 2 400 батонов.

Задание 9. С одной базы отправлено 405 центнеров яблок, со второй - 372 ц, с третьей - 156 ц; после чего на второй базе осталось в три раза меньше яблок, чем на третьей. Сколько яблок осталось на всех базах, если сначала их было на каждой базе поровну?

Указание. Для решения целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 16).

405 ц

 

Ответ. На всех базах осталось 507 центнеров яблок. V. Задание на дом.

1. Повторить теоретический материал: операции объединения и пересечения множеств.

2. Изобразить пары множеств на числовой прямой и записать, какое из них является подмножеством другого:

1) А={3; 4; 5; ...}, В={5; 6; 7 ...};

2) А=(-оо; 3], В=(-оо;6];

3) А=(-2; 5], В=[0; 4);

4) А=[2; 6), В={2; 3; 4; 5};

5) А=(-о;4), В=[0; 1];

6) А=[2; о ), В=[3; 6).

Ответ. (1) ВсА; (4) ВсА.

3. Заданы пары множеств:

1) А={2; 4; 6}, В={4; 2; 6};

2) А={2; 4; 6}, В={3; 4; 6};

3) А={2; 4; 6}, В={Ь; с; а};

4) А={2; 4; 6}, В={2; 4; 6; 8};

5) А=Ч, В={1; 2; 3; ... п; ...};

6) А= ТТ, В={1; 2; 3; п};

7) А={2; 4; 6; ...2п; ...}, В={2; 4; 6; 2т};

8) А={1; 3; 5;     9}, В - множество четных чисел первого десятка;

9) А={4; 6; 8}, В - множество четных чисел, больших единицы и меньших 9;

10) А - множество плоских четырехугольников, В - множество плоских фи­гур, образованных замкнутой ломаной линией из четырех отрезков;

11) А- множество четных натуральных чисел, В - множество всех сумм не­четных натуральных чисел;

12) А - множество двузначных чисел, кратных трем, В - множество двузнач­ных чисел, кратных девяти;

13) А - множество двузначных чисел, кратных трем, В - множество двузнач­ных чисел, сумма цифр которых кратна трем;

14) А - множество точек плоскости, лежащих на окружности с центром в точке О (2; 1) и радиусом равным 3, В - множество точек плоскости, расстояние которых до точки О (2; 1) равно 3;

15) А - множество точек плоскости, лежащих внутри окружности с центром в точке О (0; 0) и радиусом г=4, В - множество точек плоскости, расстояние кото­рых от точки О (0; 0) меньше 3.

16) А - множество треугольников, В - множество плоских фигур, образован­ных замкнутой ломаной линией, состоящей из трех отрезков;

17) А - множество четных чисел первого десятка, В - множество нечетных чисел первого десятка.

Сравните данные пары множеств А и В и заполните нижеприведенную таб­лицу (рис. 17), где в каждой колонке проставить соответствующий правильный номер задания.

1              2               3                 4                 5               6 7

А~В

А~В      А~В и А=В    А~В и А^В

А=В

АсВ

ВсА

1, ...

1, ...

1, ...

1, ...

1, ...

Рис. 17.

Замечание. В таблице (рис. 17) приведен пример ее заполнения: под номе­ром (1) А={2; 4; 6} и В={4; 2; 6}, очевидно, что А~В, А=В, АсВ, ВсА, поэтому (1) попадает в колонки (1), (3), (5), (6), (7).

4. Изобразите на числовой прямой следующие множества:

1) Х=[1; 4]

2) Х={1; 2; 3};

3) Х=(-2; 2];

4) Х=[-1; 3];

5) Х=(-1; 1);

6) Х={-1; 1};

7) Х=(-о ;1];

8) Х=[-1; о);

9) Х=(-о ; 2);

10) Х={0; 1; 5}.

5. Постройте прямую, отметьте начало отсчета, точку А(3) и все точки, рас­стояние каждой из которых до точки А: а) равно 4; б) не больше 4; в) больше 4. Ответ. (а) В1(-1), В2(7); б)Х={х|хеЯ, -1<х<7}; (в) Х={х|хеЯ, х<-4 или х>4}.