ЗАНЯТИЕ 3 Тема: Множества. Числовые множества.

I. Элементы теории.

1. Понятие "множество" не определяется, оно поясняется примерами: мно­жество яблок в корзине; множество точек отрезка прямой.

2. Множество состоит из элементов. В приведенных примерах - это яблоки, буквы, точки.

3. Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, ... Х,    элементы множества - строчными буквами алфавита: а, в, с, ... х, у, ....

4. А={а; в; с; сі}- множество А состоит из элементов а, в, с, сі. С другой сто­роны, говорят, что элемент а принадлежит множеству А, записывается: а є А (знак є читается: "принадлежит"). Элемент 5 не входит в множество А, говорят, что "5 не принадлежит А": 5 £ А, или 5 є А.

5. Если множество В не содержит ни одного элемента, то говорят, что оно пустое, обозначается: В= 0.

6. Если элементы данного множества Х обладают некоторым свойством, а другие элементы этим свойством не обладают, то такое свойство называют ха­рактеристическим. Например, если А={2; 4; 6; 8}, то элементами этого множест­ва являются числа 2, 4, 6, 8, а их характеристическим свойством то, что они на­туральные, однозначные и четные числа. В общем случае можно записать А={х | ... }, где после вертикальной черты указывается свойство элементов дан­ного множества.

7. Если элементами множества являются числа, то множество называется чи­словым. Известны числовые множества: натуральных чисел (К), множество це­лых неотрицательных чисел (N0), целых чисел (2), рациональных чисел (О, дей­ствительных чисел (Я); в развернутом виде их можно записать так:

N={1; 2; 3; ...}; N,={0; 1; 2; 3; ...}; 2={...-2; -1; 0; 1;2; ...}; С- \Р

Кроме того, можно выделить СГ = \—\

тельные

р є       є Ъ+}, где Ъ\ - целые неотрица-

(натуральные);

положительные

числа

числа;     Ъ+ - целые Я+ - |х| х є Я,х > 0} - действительные положительные числа и др.

8. Каждое числовое множество можно изобразить на числовой прямой (рис. 8).

•XXX—

0  1  2 3 ...

N={1; 2; 3; ...}:

X X X X х-►

... -2 -1 0 1 2 ...

2 !--2; -1; 0; 1;2; ...}:

0 а

Ь

[а, Ь] - отрезок: Ь с

0

[а, Ь), (с,сС] - полуинтервалы:

0

Ь

(а, Ь) - интервал:

с

-•-

0

[а, да), (-да, сі] - лучи:

с

(-да, сі), (а, да) -открытые лучи:

с

а

а

0

0

Я - множество действительных чисел: Рис. 8.

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Определить, какие из записей верны (ответ отметить знаком "+"

или "-").

5 є К; - 2,1 є Я; 22,6 £ Я0; 15^4 є К; 14 є (С0;

- 25 є К; - 6,1 £ Я; - 28 £ К; - 2,6 є К; 21 є 0;

5 є0; 4 є00; 10 є00; -2,6 єЯ0; 16,2 є

0,25 є 0;    5 £ 0;     2,5 є - 2,6 є Я;    2,6 £ Я;

Задание 2. Пусть имеем числовые множества: К - натуральных чисел; Р -множество чисел, делящихся только на 1 и на само себя (простых чисел); К -множество чисел, кратных семи (делящихся на семь). Запишите, каким множест­вам принадлежат следующие числа: 23; 65; 9; 342; 343; 19; 34; 68; 154; 101; 24; 220; 69; 13; 206; 81; 97.

Указание. Ответ записывать в форме:

23      23 єР; и т. д.

Задание 3. Известно, что хєЯ. Найдите множество решений каждого из уравнений:

а) 3х + 5 = 2-(х+1);

б) х2 - 3х - 4 = 0;

в) х2 + 6 = 2;

г) 2-(х + 2) = 3х;

д) х2 + 2х - 4 = 0;

е) х - 3 = х + 2. Ответ.

а) А={-3};

б) В={-1; 4};

в) Б=0;

д) Е = {75 --л/5};

е) М=0;

Задание 4. Прочтите записи и перечислите элементы каждого из множеств:

А = {х|х єК,х < 5};

В = {х|х єК0,1 < х< 4};

С = < хх е Z^ ,х < 3— >;

D = {х|х е Z,-5 < х < 2}; E = {х|х е Z,-3 < х < 2};

F =      еN„,0 < х< 3}.

Ответ. С={0; 1; 2; 3}; F={0; 1; 2}.

Задание 5. Изобразить на числовой прямой следующие множества:

1) X={х |хеН х<4};

2) X={х |хеН 5<х<4};

3) X={х |хе^ -3<х<5}

4) X={х | х^, -2<х<4};

5) X={х |х^, -4<х<4}

6) X={х |х^, -5<х<о};

7) X={х |хеЫ, -3<х<2};

8) X={х |хеЫ, -2<х<4};

9) X={х |хеЫ, -4<х<2}

10) X={х |хеЫ, 2<х<6};

11) X={х |хеЫ, х>-2};

12) X={х |хеЫ, х<3};

13) X={х |хеЫ, х<4};

14) X={х |хеЫ, х<2}

Ответ. (5)   ХХХХХХХХ»   К     (10)   ■ ►К

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 2 6

Задание 6. Задайте числовое множество с описанием характеристического свойства элементов:

1) Х=[2; 4]; 4) Х=[-2; 3);    7) Х=(-оо; 2];    10) Х=(0; ю);

2) Х={1; 2; 3; 4; 5}; 5) Х=(3; 5);    8) Х=[3; ю);      11) Х={1; 2; 3; 6};

3) Х=(1; 3]; 6) Х={3; 5};    9) Х= (-оо; 1);    12) Х= (-оо;оо).

Ответ. (5) интервал; (11) множество натуральных чисел первого десятка до 6. Задание 7. Укажите характеристическое свойство каждого числового множе­ства на числовой прямой (рис. 9).

 

о •

3)

0 1

7)

0 1

4) -1 0

8)

Рис. 9

Ответ. (1) (2; 3] -полуинтервал; (8) (-ю; 4]- луч.

Задание 8. На съезд туристской песни собрались гости из трех районов, все­го 386 человек. Сколько людей приехало из каждого района, если из первого района приехало на 38 человек больше, чем из второго, а из третьего - на 26 человек меньше, чем из первого?

Указание. Целесообразно для решения задачи использовать схематический рисунок (рис. 10).

38 ч

I -

II 26 ч

III

Рис. 10.

Ответ. Из первого района приехало 150 человек, из второго - 112 человек, из третьего - 124 человека.

Задание 9. Завод в каждый последующий квартал выпускал на 2300 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовили в последний квартал, если за год изготовили всего 51 200 деталей?

Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 11).

I •­II •­III •­IV ­2300 д -• 2300 д

2300 д

51200 д.

Рис. 11.

Ответ. За последний квартал завод изготовил 16 250 деталей.

IV. Задание на дом.

1. Повторить теоретический материал: подмножества, множества равные и равносильные.

4

5

0

Задание 1. Найти множество корней каждого из уравнений: 1) Зх+2=3(х-2), хеК; 2) 2х+5=х-6, хеЯ; 3) Зх+5=х-6, хеК; 4) х2-3х-4=0, хеК; 5) х2-6х+7=0, хеЯ; 6) х2+2х-4=0, хеО; 7) х2-х-6=0, хеК

Ответ. (1) Х=0; (2) Х={11}; (5) Х={3+л/2; 3- 72}; (7) Х={3}.

Задание 2. В городе за год приобрели 14108 радиоприемников, телевизоров и автомашин. Сколько приобретено каждого вида из этих товаров, если телеви­зоров было продано на 3250 меньше, чем радиоприемников, но на 4892 больше, чем легковых машин.

Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 12).

3250

Р.  

4892

Т.   •-14108

А . •-•

Рис. 12.

Ответ. Приобрели за год 8500 радиоприемников, 5250 телевизоров, 358 ав­томашин.

Задание 3. Отец и два сына выработали 950 трудодней. Отец выработал на 80 трудодней больше, чем каждый из сыновей. Сколько трудодней выработал каждый из сыновей.

Ответ. 290 трудодней выработал каждый сын.