ЗАНЯТИЕ 1 Тема: Решение текстовых задач и нахождение значений выражений для выработки вычислительных навыков.

I. Устный счет.

Вспомним некоторые теоретические положения:

а) Чтобы найти число а, большее числа в на с единиц, надо найти сумму (а+с).

б) Чтобы найти число а, меньшее числа в на с единиц, надо найти разность

(а-с).в) Чтобы сравнить числа а и в (а>в), надо найти их разность (а-в). Решить примеры.

1) Какое число меньше 71 на 47 единиц? (Отв. 24). Какое число меньше 93 на 29 единиц? (Отв. 64) (и др.).

2) На сколько единиц число 78 больше 28? (Отв. 50).

На сколько единиц число 94 больше 28? (Отв. 66) (и др.).

3) Сколько единиц надо отнять от большего числа (36) и прибавить к мень­шему (24), чтобы оба числа были равными? (Отв. 6). Чему равна разность этих чисел? (Отв. 12). На сколько единиц второе число меньше первого? (Отв. 12).

4) Одно число равно 45, а другое на 17 единиц меньше. Чему равна сумма этих чисел? (Отв. 73).

5) Какова сумма двух чисел, если одно из них равно 9, а другое на 16 больше первого? (Отв. 34).

II. Решение примеров на все действия с обыкновенными и десятичными дробями.

Вспомним основные правила.

При нахождении значения числового выражения придерживаются следую­щего порядка действий:

- находят числовые значение выражений, выделенных скобками;

- выполняют операции умножения и деления в указанном порядке;

- выполняют операции сложения и вычитания в указанном порядке. Замечание. Во избежание появления при вычислениях бесконечных деся­тичных дробей целесообразно проводить вычисления в обыкновенных дробях.

Задание 1.

1

■2- + 0,4 2 '

(2,7-0,8) • 23

-33 + 0,125

(5,2-1,4):—

70

Решение.

1) 2,7-0,8=1,9; 2) 1,9- 2- = 19

3   10 3

38 3    19 70   19•14

3) 5,2-1,4=3,8; 4) 3,8:-

70 10 70   5 3

19 719• 14 _ 19• 7• 3 _ 1_, 10^ 3:   3   _ 10• 3• 19• 14 _ 20;

1    „„г    1    125    1    1   2 + 5 7

6) — + 0,125 = — +-= — + - =-= —;

20 20   100   20   8    40 40

7    1    7  5    7  2 7

7) —:21 = —:- = — •2 = — = 0,07 40   2   40 2   40 5 100

8) 0,07+0,43 =0,5

Ответ. 0,5. Задание 2.

3 1 24:''1 + 33

2,5 - 0,4 • 3 Ответ. 5.

1"7

V 26+4,5 0,375

2,75 -^

III. Решение текстовых задач.

Текстовая задача - это словесное описание ряда ситуаций с требованием дать количественную характеристику некоторого компонента в предложенных ситуа­циях. Любая текстовая задача состоит из условия, а также указанного требова­ния, которое формируется либо в повелительной форме: "Найти либо в во­просительной: "Сколько ...?".

Решить задачу - это значит через логически правильную последовательность операций с имеющимися в задаче числами суметь ответить на вопрос.

Существуют два метода решения текстовых задач. Первый метод - это реше­ние по действиям (иногда называют арифметическим) и второй - алгебраиче­ский. При арифметическом методе решения ответ на вопрос задачи отыскивается с помощью выполнения арифметических операций над числами; при алгебраи­ческом методе решения задачи ответ на вопрос находится в результате составле­ния и решения уравнения.

Проиллюстрируем эти методы на конкретной задаче.

Задача. При наборе книги на персональном компьютере предполагалось уместить на одной странице 28 строк по 40 букв в каждой строке. С учетом неко­торых условий оказалось целесообразно поместить на каждой странице по 35 строк. Сколько букв надо помещать в каждой строке, чтобы число страниц в кни­ге не изменилось?

Решение.

Арифметический метод решения. Первая форма записи решения.

1) Сколько букв предполагалось уместить на одной странице первоначально?

40-28=1120 (букв).

2) Сколько умещается в каждой строке с учетом новых условий?

1120:35=32 (буквы). Ответ. В каждой строке надо помещать 32 буквы. Вторая форма записи решения.

1) Первоначально на одной странице предполагалось поместить : 40-28=1120 (букв).

2) С учетом новых условий в каждой строке поместится: 1120:35=32 (буквы). Ответ. В каждой строке надо поместить 32 буквы.

Третья форма записи решения.

1) 40-28=1120 (букв) необходимо поместить первоначально на каждой стра­нице.

2) 1120:35=32 (буквы) надо поместить в каждой строке с учетом новых усло­вий.

Ответ. В каждой строке надо поместить 32 буквы. Четвертая форма записи решения.

- Пусть х - количество букв, которые надо поместить в каждой строке в но­вых условиях;

- тогда 35х - это количество букв, которые будут помещены на новых стра­ницах;

- 40-28 - столько букв было на каждой странице в старом наборе;

- так как число страниц в книге не изменилось, то составляем уравнение: 35х=40-28, откуда

х=^ = 32 35

Ответ. В каждой строке надо помещать 32 буквы.

Задание 3. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к искомому числу прибавить 36, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти данное число.

Решение (алгебраический метод).

- Пусть х - число десятков данного числа;

у - число единиц;

х, у - однозначные числа (цифры),

- тогда данное число запишется в виде: 10х+у;

- по условию задачи: х+у=12;

- в новом числе х - число единиц,

у - число десятков,

- тогда новое число запишется в виде: 10у+х;

- так как по условию задачи число 10у+х получается в результате прибавле­ния 36 к числу 10х+у, то имеем уравнение:

10х+у +36=10у +х. Для решения задачи имеем систему двух уравнений:

Гх + у = 12

[10х + у + 36 = 10у + х [10х - х + у - 10у + 36 = 0

Гх + у = 12

|9х - 9у + 36 = 0

Ответ. Искомое число равно 48.

 

2х = 16; х = 4; у = 8.

Задание 4. Двое рабочих, работая одновременно, могут выполнить некото­рую работу за 12 дней. После 8 дней совместной работы один рабочий заболел, а второй закончил эту работу за 5 дней. Во сколько дней каждый из рабочих, рабо­тая врозь, сможет выполнить всю работу?

Решение (алгебраический метод).

- Пусть вся работа - 1;

- оба рабочих при совместной работе в один день смогут выполнить у2 часть работы;

- за 8 дней оба рабочих выполнят — • 8 = -3 всей работы;

2 1

- после того, как один рабочий заболел, осталось выполнить 1 - — = — всей работы;

- так как второй рабочий за 5 дней выполнил  всей работы, то в первый

11

день он выполнил —:5 = — часть работы;

- тогда на выполнение всей работы второму рабочему понадобится 1: — = 15 (дней);

- так как второй рабочий в один день выполнил     часть работы, то первый

рабочий в один день выполнял —---— = — часть работы;

12   15 60

- тогда для того, чтобы один первый рабочий смог выполнить всю работу,

ему понадобится 1: — = 60 (дней).

60

Ответ. Первый рабочий выполнит всю работу за 60 дней; а второй - за 15 дней.

Задание 5. Пароход прошел по течению третью часть пути со скоростью 18 км/ч, а остальной путь за 12 часов со скоростью 24 км/ч. На обратный путь пароход затратил на 7 часов больше, чем по течению. На сколько скорость паро­хода по течению была больше скорости против течения?

Указание. Задачу решить арифметическим методом, записав в третьей фор­ме (все последующие задачи будем решать и записывать аналогично).

Решение.

1) 24-12=288 (км) прошел пароход за 12 часов по течению;

2) 288:2=144 (км) прошел пароход по течению со скоростью 18 км/ч;

3) 288+144=432 (км) весь путь;

4) 144:18=8 (ч) затратил пароход на третью часть пути по течению;

5) 12+8=20 (ч) затратил пароход на весь путь по течению;

6) 432:20=21,6 (км/ч) средняя скорость парохода по течению;

7) 20+7=27 (ч) затратил пароход на обратный путь ;

8) 432:27=16 (км/ч) скорость парохода на обратном пути;

9) 21,6-16=5,6 (км/ч) разница между скоростью парохода по течению и ско­ростью против течения.

Ответ. На 5,6 км/ч скорость парохода по течению была больше скорости против течения.

Задание 6. С овощной базы отправили в четыре магазина 6 т 800 кг помидо­ров в ящиках одинакового веса. Во второй магазин отправили 2 400 кг помидо­ров, и это было на 920 кг больше, чем в первый, и на 1 360 кг больше половины того количества, которое поступило в третий магазин. Четвертый магазин полу­чил 105 ящиков с помидорами. Сколько ящиков с помидорами получил каждый магазин?

Указание. Для решения задания 6 целесообразно использовать схематиче­ский рисунок, отображающий зависимость между количествами помидоров, от­правленных в разные магазины (рис. 1.).

I М

II М •-

Ш М

_920 кг

2 400 кг

6 800 кг

IV М

105 я

Рис. 1.

Ответ. В первый магазин завезли 185 ящиков помидоров, во второй - 300 ящиков, в третий - 260 ящиков.

Задание 7. Пароход прошел сначала 144 км, потом половину и затем -3 часть

этого расстояния. Пройденный путь оказался на 48 км меньше пятой части ос­тавшегося расстояния. Пароход шел со скоростью 24 км/ч. На стоянки ушло 14 часов. Сколько времени продолжался весь путь? Ответ. Весь путь продолжался 90 часов.

Задание 8. На швейной фабрике из трех партий материала общим количест­вом 1 484 м, сшили одинаковые платья. В первой партии было 602 м, что на 497 м больше четвертой части количества м во второй партии. Из материала третьей партии сшили 165 платьев. Сколько платьев сшили из материала второй партии?

Указание. Использовать схематический рисунок (рис. 2).

I П

497 п

602 м

II П

1 484 м

ШП -  165 п

Рис. 2.

Ответ. Сшили 150 платьев из материала второй партии.

Задание на дом.

1. В трех бригадах было 48 лесорубов. В первой бригаде четвертая часть всех рабочих, во второй - половина остального числа рабочих. Каждый рабочий первой и второй бригады заготовлял по З куб. метра б00 куб. дециметров древе­сины в день, а в третьей бригаде - по 4 м . На сколько перевыполнено было дневное задание, составлявшее 144 дм древесины.

Ответ. На Зб м было перевыполнено дневное задание.

2. Для ремонта доставили дубовые и сосновые шпалы. Сначала доставили 0,З

ЗЗ

всех шпал, потом — остатка, и, наконец, последние 185 шпал. Все шпалы весят 70

1? т 400 кг. Одна сосновая весит 28 кг, одна дубовая - 45 кг. Сколько было дубо­вых шпал?

Ответ. Было 200 дубовых шпал.

3. Вычислить значения выражений.

J:Q? + ^ 0,°°5)).4,75 + ?!

а)-5     1     23-+-5-:0,25.

- + 1-- 1— 33:4-б     3     30 7

Ответ. 12.

З ^   3      (0,21б 0,15

1,88 + 2 — !■—    1^гт^ + 0,5б\:0,5

б) 13 26   +'(        3    2 ^ '

0,625 - - - +      - 4,5

Ответ. 4.