ЗАНЯТИЕ 17 Тема: Кванторы.

 

I. Элементы теории.

1. Превратить предикат в высказывание можно не только подставив вместо переменной ее значение, но и поместив перед предикатом слова "все", "сущест­вует", "любой" и другие. Эти слова называются кванторами.

2. Квантор общности обозначается символом V, записывается в логических символах ^хєХ) (Р(х)) и читается:

- для всех х из Х выполняется Р(х);

- для каждого х из Х справедливо Р(х).

3. Квантор существования обозначается символом 3, записывается в логиче­ских символах (ЗхєХ) (Р(х)), читается: "существует х из Х такой, что выполня­ется Р(х)".

4. Для кванторов справедливы формулы:

(ухіх) (р(х)) = (зх є X (щ);

(зх е X)(Р(х)) = (Ух е ^(Р(х)).

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Сформулируйте следующие высказывания, пользуясь обычным языком, установите их значение истинности:

1) (УхеЯ)(х-2=х); 5) (ЗхеЯ)(х2=25);

2) (Ухея)(х2=25); б) (зхея)(х2+1=26);

3) (ухея)(х-2 * х); 7) (ухеЯ)(х2+6=31);

4) (зхеЯ)(х-2=х); 8) (ухея)(х2+5=1).

Задание 2. Пусть даны предикаты на К: Р(х): х - четное число, СХх): число х кратно 3.

Сформулируйте следующие высказывания пользуясь обычным языком:

1) (УхеВДх)); 5) (УхеЯХРОО);

2) (ЗхеВДх)); 6) (ЗхеЦХРрО);

3) (Ухегад(х)); 7) (Ухе^ОЮ);

4) (ЗхеК)(0(х)); 8) (ЗхеК)(0(х)). Укажите среди этих высказываний истинные.

Задание 3. Введите обозначение предикатов и запишите при помощи кван­торов следующие высказывания:

1) существует действительное число х такое, что х =1;

2) любое натуральное число делится на 3;

3) найдите действительное число х такое, что для каждого действительного числа а имеет место равенство ах=а;

4) не существует рационального числа х такого, что х =2;

5) любое натуральное число нечетно.

Задание 4. Пусть Х - множество четырехугольников и заданы предикаты: А(х): х - параллелограмм; В(х): х - равнобочная трапеция; С(х): х - ромб;

Б(х): х имеет ось симметрии; Е(х): х- имеет центр симметрии.

Сформулируйте следующие высказывания и определите их значения истин­ности:

1) (Ух)(А(х) =>Е(х)); 5) (Ух)( Е(х) =>А(х));

2) (ЗхХЩх) =>Е(х)) 6) (Ух)(ОД =>А(х));

3) (Ух)(Б(х) =>С(х)); 7) (Ух)(С(х) => А(х));

4) (Зх)(В(х) => Б(х)); 8) (Зх)(С(х) =>А(х)).

Указание. Высказывание ^х)(А(х)) ложно, если есть хотя бы одно аєХ, для которого А(а)=0; высказывание (3х)(А(х)) истинно, если есть хотя бы одно аєХ, для которого А(а)=1.

Задание 5. Даны предикаты:

А(п): число п делится на 3;

В(п): число п делится на 2;

С(п): число п делится на 4;

Б(п): число п делится на 6;

Е(п): число п делится на 12.

Укажите, какие из следующих высказываний истинны, какие ложны:

1) ^п)((А(п)лВ(п))=>Е(п));

2) ^п)((В(п)лБ(п))=>Е(п));

3) (3п)((С(п)лБ(п))^Е(п));

4) ^п)(Е(п) =>(С(п)лБ(п)));

5) (Уп)(Е(п) => (В(п) л Б(п)));

6) (Эп)((В(п) л С(п)) => вд);

7) (Уп )(А(п) => Е(п)).

Задание 6. Пусть х, у є Я; какие из следующих высказываний истинны:

1) х+у=у+х;

2) (3у)^х)(х+у=5);

3) ^х)(3у)(х+у=5);

4) (3х)(3у)(х+у=5);

5) (Vx)(3y)(x>y>0)л(x+y=0). Задание 7. Пусть даны предикаты: Р(а; в): прямая а параллельна прямой в; (((а;а): прямая а лежит в плоскости а; Я(а; а): прямая а параллельна плоскости а.

Запишите словами следующие высказывания, записанные в символическом виде:

1) ^а)(3а)((}(а;а));

2) ^а)(М>)^а)((((а; а)лР(а; Ъ)=>(((Ъ; а));

3) (Уа)(УЪ)(Я(а; а) => (((а; а)).

Задание 8. За 6 дней в автопарке легковые автомашины израсходовали

3456 л бензина, что составляет — расхода бензина грузовыми автомашинами.

Дневной расход грузовой автомашины - 64 л, а это на 46 л больше дневной нор­мы на легковую автомашину. Сколько всего автомашин в автопарке? Ответ. В автопарке 104 автомашины.

Задание 9. На трех делянках заготовили дрова. На третьей делянке заготови­ли 14560 м , на второй - в три раза больше, чем на первой, на которой заготовили на 8540 м меньше, чем на третьей. После отправки некоторого количества дров на первой делянке осталось 3190 м ; на третьей - 4680 м ; на второй - 3980 м дров. С какой делянки вывезено больше дров и сколько вывезено? Ответ. Со второй делянки вывезено 14080 м дров.

Задание 10. Геологи проехали на пароходе 400 км, что было в 8 раз больше того, что они проехали на лошадях, и во столько же раз меньше, чем на поезде. Скорость парохода составляла 20 км/час, лошади - 5 км/час, поезда - 40 км/час. Сколько времени продолжался путь?

Ответ. 70 часов продолжался путь.

Задание 11. В первый день остригли вдвое меньше овец, чем во второй. В третий день остригли 2100 овец, что было на 380 овец больше, чем во второй день. С каждых трех овец получили в среднем по 4250 г шерсти. После сорти­ровки оказалось, что количество шерсти второго сорта составило пятую часть количества шерсти первого сорта. Сколько настригли шерсти каждого сорта?

Ответ. Первого сорта шерсти настригли 5525 кг, второго сорта - 1105 кг.

Задание 12. Бригада из 15 лесорубов за 12 дней заготовила 720 м дров. Сколько времени потребуется второй бригаде, в которой на 5 человек больше, чтобы заготовить 1200 м3 дров, если средняя производительность одного лесору­ба во второй бригаде на одну четвертую часть больше, чем в первой?

Ответ. Бригаде понадобится 12 дней.

IV. Задание на дом.

1. Пусть даны предикаты:

Р(х): треугольник х равносторонний; ((х): треугольник х равнобедренный; Я(х): треугольник х прямоугольный.

Запишите словами высказывания, записанные в символическом виде:

1) (Ух)(Р(х)=>(((х));

2) (3х)(Р(х)лР(х));

3) (3х)((((х)лР(х));

4) (Ух)(Р(х));

5) (Ух((}(х));

6) (3х)(Я(х)).

2. Пусть даны предикаты:

Р(а; в): прямая а параллельна прямой в; ((а; а): прямая а лежит в плоскости а; Я(а; а): прямая а параллельна плоскости а.

Пользуясь этими предикатами, запишите в символическом виде следующие высказывания:

1) чтобы прямая а была параллельна плоскости а, необходимо и достаточно, чтобы прямая а была параллельна прямой в, лежащей в плоскости а;

2) существуют прямые, параллельные плоскости а и не лежащие в плоскости

а;

3) если прямая а параллельна плоскости а и прямая в параллельна плоскости а, то прямые а и в параллельны.