ЗАНЯТИЕ 16Тема: Предикаты и операции с ними.

I. Элементы теории.

1. Одноместным предикатом, заданным на множестве М, называется выра­жение с переменной, которое при подстановке любого из значений переменного хєМ становится либо истинным, либо ложным высказыванием.

Обозначаются предикаты: А(х), В(х), Р(х), ...

2. Иногда предикатом называется "неопределенное" высказывание, т. е. предложение, имеющее форму высказывания, но не являющееся им, так как не­известно его значение истинности.

3. Для каждого одноместного предиката существует множество объектов, на котором этот предикат превращается в истинное или ложное высказывание. Это множество объектов есть область определения предиката.

Множество элементов, которым можно заменить переменную в заданном од­номестном предикате, называется областью определения предиката. Обозначается: М (или другие буквы).

Одноместным предикатом над множеством М называется функция Р(х), оп­ределенная на множестве М и принимающая при подстановке конкретного хеМ одно значение из множества Р={0; 1}.

4. Множество тех значений, принадлежащих области определения М, для ко­торых Р(х)=1, называется множеством истинности предиката Р(х).

Обозначается: Т.

Очевидно, что ТсМ, и Т={х|Р(х)}, т. е.

Т - это множество хеМ, обладающих свойством Р.

5. Предикат Р(х), множество истинности которого совпадает с его областью определения, называется тождественно истинным.

Иначе: Р(х) - тождественно истинный, если Т=М.

6. Предикат (((х), множество истинности которого пустое, называется тожде­ственно ложным.

Иначе: (((х) - тождественно ложно, если Т=0.

7. Над предикатами выполняются операции отрицания, дизъюнкции, конъ­юнкции, импликации, эквиваленции. Таблицы истинности этих операций совпа­дают с соответствующими таблицами истинности операций с высказываниями.

8. Для каждой из операций с предикатами можно найти множества истинно­сти. Тогда, если:

Та(х) = {х|х е X л А(х)},

ТВ(х) = {х1х е Х Л В(х)}, то

Т_      - Т •

Л(х) 1-Л(х)'

ТЛ(х)лБ(х) — ТЛ(х) ^ ТБ(х); ТЛ(х)уБ(х) — ТЛ(х) ^ ТБ(х);

ТЛ(х)=>Б(х) — ТЛ(х) ^ ТБ(х);

Т — Т     — Т

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Из данных предложений выберите одноместные предикаты, ука­жите их область определения и множество истинности:

1) х+1=4;

2) при х=3 выполняется равенство х-2=0;

3) для всех чисел х выполняется равенство х+1=1+х;

4) существует такое положительное число х, что х2+2=0;

5) х-1>2х-4;

6) х2-5х+6=0.

Указание. Решение оформить в следующем виде.

Пусть А(х): х-4=5 - это предикат, так как не можем сразу определить значе­ние истинности; тогда х-4=5=>х=9, тогда Х=Я, ТА(х)={9}. Задание 2. На множестве       задан предикат:

А(х): число х - делитель 18. Сформулируйте высказывания: А(2); А(3); А(5). Найдите их значения истинности и множество истинности ТА(х).

Задание 3. На множестве Х={-5; -1; 2; 0; 3/4; 1/2} заданы предикаты:

А(х): х - число целое;

В(х): х - число дробное.

Сформулируйте высказывания:

А(2^В(2); А(-1^В(-1);

А(0^В(0); А(2)лВ(2);

А(-5)vВ(-5).

Найдите их значения истинности. Указание 1.

Числа 3 и 0 целесообразно считать дробными, так как 3=у и 0=у. Указание 2.

Решение целесообразно оформить в следующем виде: А(6)=1; В(6)=1, тогда А(6^В(6)=1.

Задание 4. На множестве Ъ заданы предикаты: А(х): х>10, В(х): х<20.

1) Сформулируйте конъюнкцию этих предикатов;

2) Прочитайте высказывания:

А(8) лВ(8); А(10) лВ(10); А(30) лВ(30). Найдите их значения истинности. Задание 5. Даны предикаты:

1) А(х): 25х2-9=0;

2) В(х): х+5>3;

3) С(х): х-2<0;

4) Д(х): х2+3х+6=0;

5) М(х): х2+3х-6<0;

6) (((х): х2-5х+6>0.

Найти множество истинности этих предикатов, если: I. Х=Я; II. Х= Я 0 ; III. Х=К

Указание. Решение оформить в следующем виде:

(2)

ТВ={х|хеЯлх>-2}, Тв={х|хеЯ;}, Тв=N.

(5)

Г .       -3-л/333     -3+л/3331

Тм = \ х х е Я л-< х <-л

М    [ 1 2 2 ]'

Г ,       + -3+ 733]

Тм =|х|х е я; л 0 < х <—2— ['

Тм = {1}­

(6)

Тд=(-о>; 2)и(3; о), Тд=[0; 2)и(3; оо), Тд={1; 4; 5; 6; ... п ...}

Задание 6. На множестве Х={1; 2; 3; ... 10} заданы некоторые предикаты: А(х): х не делится на 3; В(х): х - число нечетное; С(х): х - число четное; Д(х): х - кратно 5.

Найдите множество истинности предикатов:

1) Л(х)лБ(х);

2) (В(х)лС(х)М>(х);

3) С(х)уР(х);

4) С(х) л Б(х);

5) (вд л од)у Б(х);

6) (Л(х) л Б(х))у С(х);

7) (С(х) V Б(х))л Л(х);

8) С(х) л ЁЙх) V Б(х);

9) (Х(х) л С(х))у Б(х);

10) (С(х) V Б(х)) л Л(х) .

Указание. Решение оформить в следующем виде: пусть надо найти множе­ство истинности предиката (л(х)у Б(х))л С(х).

Тл = {1;2;4;5;7;8;10};

ТЛ = Тл = {3;6;9};

Т = {5;10};

ТлУв = Тл и Т = Тл и Тс = {3;6;9} и {5;10} = {3;5;6;9;10}; Тс = {2;4;6;8;10},ТС = Тс = {1;3;5;7;9}.

Ответ. (2) Т^^ = 0; (4)1^ = {5}; (5)1^ = {5;10} . IV. Задание на дом.

1. Повторить теоретический материал: Кванторы.

2. Для заполнения водоема вместимостью в 42300 гл поставлено три насоса, которые при совместной работе могут заполнить его за 47 часов. Первый насос один заполняет водоем за 141 часов, второй - за 235 часов. Сколько гл подает в час третий насос?

3. Изобразите при помощи кругов Эйлера множества истинности предикатов А(х), В(х), С(х), Б(Х) (из задания 6) и каждого из предикатов 1) -10).

Указание. Решение оформить в следующем виде: пусть Х={1; 2; 3; 4; 5}, М(х): х - четное число, ТЧ(х): х - нечетное число, Р(х): х - кратно 3.

Тогда ТМ, Т№ ТР изобразим следующим образом (см. рис. 47).