ЗАНЯТИЕ 15 Тема: Импликация и эквиваленция высказываний. Совместные операции.

I. Элементы теории.

1. Импликацией двух высказываний называется высказывание, полученное соединением двух данных высказываний А и В связкой "если ... то" (А=>В), зна­чение истинности которого определяется таблицей (см. рис. 45)

А

В

 

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Рис. 45.

2. А - называется условием,

В - заключением импликации А= В.

3. Эквиваленцией двух высказываний называется новое высказывание, полу­ченное соединением двух данных высказываний А и В связкой "равносильно" (А^В), значение истинности которого определяется таблицей (см. рис. 46).

А

В

 

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Рис. 46.

4. Импликация В= А является импликацией, обратной данной А= В.

5. Импликация А == В является импликацией, противоположной данной А=В.

6. Импликацию двух высказываний можно заменить дизъюнкцией и конъ­юнкцией:

(А=>В)<=>(А vВ);

(А => В) <»(Ал В).

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. С помощью таблиц истинности доказать равносильности: (А^В)^(А vВ); (А=В)^(Ал В).

Задание 2. Составить таблицу истинности для следующих выражений:

1) А=^С);

2) (А=>ВмА=>С);

3) (А\/С)=>(ВлС);

4) (АлС)=^С);

5) ^С)=В;

6) (А= В)= (В= А);

7) (а=вмв=а).

Задание 3. В каждой из следующих импликаций выделите условие и заклю­чение и сформулируйте импликации, противоположную данной и обратную про­тивоположной; определите значение истинности импликаций:

1) если идет дождь, то мостовая мокрая;

2) если я опоздаю на работу, то меня уволят;

3) если ученика перевели в следующий класс, то он получил по всем предме­там отличные оценки.

Указание. Решение целесообразно записать в следующей форме. Пусть имеем:

Если светит солнце, то от предметов падает тень. А: светит солнце, В: от предметов падает тень. А= В - данная импликация; В= А - противоположная импликация:

Если от предметов падает тень, то светит солнце, (В= А)=1; А: неверно, что светит солнце, т. е. А: солнце не светит; В : неверно, что от предметов падает тень, т. е. В : от предметов тени не па­дает; _

тогда А => В: если солнце не светит, то от предметов тень не падает; и (А == В)=1.

Ответ. (А=В)=1; (В=А)=1; (А == В)=1.

Задание 4. Пусть даны высказывания: А: завтра будет дождь; В: мы пойдем в театр; С: завтра будет ясно, Д: завтра занятия окончатся раньше.

С помощью символов логики запишите составные высказывания:

1) если завтра будет дождь, то занятия кончатся раньше и мы пойдем в театр;

2) завтра будет ясно или будет дождь, и занятия окончатся раньше и мы пой­дем в театр в том и только в том случае, если не будет дождя и будет ясно.

Задание 5. Пусть имеем следующие высказывания.

А: сегодня ясно;

В: сегодня идет снег;

С: я буду писать письма; Д: сегодня понедельник.

Под заданным высказываниям сформулируйте составные высказывания:

1) АлД;

2) Ал В;

3) ДлАл С;

4) АvД;

5) В= С;

6) С^Д;

7) (АлВ)=Д.

Задание 6. С помощью таблиц истинности докажите равносильности:

1) (А л В) о (А V В);

2) (А V В) о (А л В);

3) ((А=>В)=>А)<=>А;

4) (А=>В)<=> (В => А).

Задание 7. Требуется выкачать 7 200 м воды. Первый насос выкачивает всю воду за 24 часа, второй за - 40 часов и третий - за 30 часов. За сколько времени выкачают воду три насоса при одновременной работе?

Ответ. Всю воду три насоса выкачают за 10 часов.

IV. Задание на дом.

1. Повторить теоретический материал: Предикаты и операции с ними.

2. Восемь больших и пять маленьких бидонов вмещают 445 л молока; один­надцать больших и пять маленьких бидонов вмещают 565 литров. Маслозавод в течение 26 дней получал по 80 бидонов молока, причем на каждые пять больших бидонов приходилось три маленьких бидона. Из 25 литров молока завод делает 1 кг 200 г масла. Сколько кг масла выработал завод за 26 дней?

Ответ. Завод выработал за 26 дней 3 432 кг масла.

3. Сформулируйте словесно высказывания:

1) (л V б) => с и с => (л л б),

где А: лето жаркое; В: лето дождливое; С: я поеду в отпуск;

2) (л л б) => с, (л V б) => с,

где А: фигура - ромб;

В: фигура - прямоугольник; С: фигура - параллелограмм;

3) (лVб) =>с, с => (л Vб),

где А: сегодня светит солнце; В: сегодня сыро;

С: я поеду на дачу;

4) (А V В)=> С, С => (А л В),

где А: я читаю;

В: я пишу книгу; С: я отдыхаю.

4. Докажите с помощью таблиц истинности формулы:

1) (А=>(В=>С))<=>((АлВ)=>С);

2) ((А=>В)л(А=>С))<=>(А=>(ВлС).

5. Даны высказывания: А: сегодня светит солнце; В: сегодня пасмурно; С: сегодня идет снег; Д: вчера было пасмурно; Е: я пойду в театр.

Сформулируйте словесно высказывания:

1) А=Б;

2) ВvС;

3) (в V С);

4) А а В;

5) А => (В л С);

6) Б л (А V В);

7) (В л А) => Е.