ЗАНЯТИЕ 14 ема: Дизъюнкция высказываний. Совместные операции отрицания, дизъ­юнкции и конъюнкции высказываний.

I. Элементы теории.

1. Дизъюнкцией данных высказываний называется высказывание, получен­ное соединением двух данных высказываний А и В связкой "или" (АvВ), истин­ность которого определяется таблицей (см. рис. 43).

А

В

АvВ

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0                0 0

Рис. 43

2. Для операций дизъюнкции и конъюнкции выполняются следующие свой­ства:

1) А л В - В л А, А V В - В V А;

2) А л (В л С) = (А л В) л С, А V (В V С) = (А V В) V С;

3) (А V В) л С = (А л С) V (В л С), (А л В) V С = (А V С) л (В V С);

4) А л А - 0, А V А - 1;

5) А V В - А л В, А л В - А V ВВ

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Сформулируйте дизъюнкцию двух данных высказываний А и В, определите ее значение истинности, если:

1) А: 3-5=15, В: 10>5;

2) А: 2<5, В: 5>10;

3) А: 2=2, В: 2<2;

4) А: 6 кратно 2, В: 10 кратно 5;

5) А: 2-5=6, В: 24 - число четное.

Указание. Форму записи решения смотрите в задании (4) предыдущего заня­тия 13.

Задание 2. Пусть даны высказывания: А: сегодня морозно, В: сегодня ясно, С: я пойду на охоту, Д: я поеду на дачу. Сформулируйте высказывания, имеющие структуру:

1) А л В;

2) В л (С V Б);

3) В л А л С;

4) А л (С V Б);

5) Б V С.

Задание 3. Выясните, в каких случаях можно установить значение истинно­сти высказывания В, если:

1) А л В = 1;     4) А V В = 0;

2) А V В = 1;     5) А л В - 0, А -1;

3) А л В = 0;    6) А V В - 1, А - 0. Ответ. (2) нет.

Задание 4. С помощью таблиц истинности докажите свойства 1) - 4) (см. рис

43).

Указание. Целесообразно при доказательстве следовать следующей схеме: (см. рис. 44). Докажите свойство (3): (А V В) л С = (А л С) V (В л С)

А       В       С     А V В

(А V В) л С

АлС    ВлС

(А л С) V (В л С)

1111

1

1 1

1

10 11

1

1 0

1

0 111

1

0 1

1

0       0 10

0

0 0

0

110 1

0

0 0

0

10       0 1

0

0 0

0

0        10 1

0

0 0

0

0       0       0 0

0

0 0

0

Рис. 44

Задание 5. Найдите, при каких значениях А и В выполняются следующие равенства:

1) (А л В) V А -1;

2) (А V В) л А -1;

3) А V В = 0;

4) А л В = 1;

5) (А л В) V А = 0.

Ответ. (1) А=1, В - любое; (2) А=1, В - любое; (3) А=1, В=1; (4) А=0, В=0;

(5) ни при каких значениях А и В.

Задание 6. В колхозе — всей земли отведено под посев зерна, — оставшейся земли занято под лугами, а остальная занята лесом. Под посев зерна отведено на

217 га больше, чем под лес. Урожай зерна составляет в среднем 20 центнеров с

гектара. -2 урожая зерна колхоз отправил на элеватор на 128 машинах грузо­подъемностью в 3 и 5 т. Сколько было машин той и другой грузоподъемности?

Ответ. Было 68 машин грузоподъемностью в 3 т, 60 машин грузоподъемно­стью в 5 т.

Задание 7. Бригада каменщиков должна была уложить 150000 кирпичей. Пя­тую часть этой работы она выполнила, укладывая по 7500 кирпичей в день. Сколько кирпичей следует укладывать в день в дальнейшем, чтобы выполнить все задание в 22 дня, если на время работы будет три выходных дня?

Ответ. 8000 кирпичей.

Задание 8. Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновре­менно навстречу друг другу вышли два автомобиля со скоростью 60 и 90 км/ч. Какое расстояние останется между ними через 3 часа после их выхода?

Указание. Решение записать в виде формулы.

Ответ. Через 3 часа между ними останется 100 км.

IV. Задание на дом.

1. Повторить теоретический материал: Импликация и эквиваленция высказы­ваний. Совместные операции.

2. С помощью таблиц истинности докажите следующие формулы:

1) А V А^А;   3) А л (А V В)=А;

2) А л А^А;   4) А V (А л В)=А.

3. В следующих высказываниях выделите составляющие их элементарные высказывания, запишите составные высказывания с помощью формул и найдите их значения истинности:

1) 15 кратно 3 и 12 кратно 3;

2) 2<4<6;

3) 2-3=6 и 35:4=2;

4) 8 - простое число и 8 не делится на 7;

5) число 113 простое или составное.

Указание. Решение целесообразно оформить в следующем виде: пусть 10 число составное и 10 кратно 5.

Тогда А: 10 - число составное (1) В: 10 кратно 5 (1); А л В=1.

4. Площадь под посевами овса составляет 5 350 га, это на 675 га больше площади посева ячменя, но на 2 650 га меньше посевов ржи. Площадь, занятаяпшеницей, в три раза больше площади, занятой остальными культурами вместе. Сколько гектаров земли занято под зерновые культуры? Ответ. Под все зерновые культуры занято 72 100 га.