ЗАНЯТИЕ 13 Тема: Высказывание. Операции отрицания и конъюнкции высказываний.

I. Элементы теории.

1. Любое повествовательное предложение, относительно которого можно ут­верждать, истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Обозначается: А, В, М, ...

2. Если высказывание истинно, то говорят, что оно принимает значение ис­тинности, равное 1.

Обозначается : А=1.

Если высказывание ложно, то говорят, что оно принимает значение истинно­сти, равное 0.

Обозначается: А=0.

3. Образование нового высказывания из двух данных высказываний посред­ством их соединения одной из логических связок (не, и, или, если ... то, равно-сильно(равнозначно)) называется логической операцией.

4. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание А (неверно, что А), истинность которого определяется таблицей (см. рис. 40).

А

А

0

1

1

0

Рис. 40.

5. Конъюнкцией двух высказываний называется высказывание, полученное соединением двух данных высказываний А и В связкой "и" (А л В), истинность которого определяется таблицей (см. рис. 41)

А

В

АлВ

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Рис. 41.

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Среди следующих предложений выделите высказывания: 1) каждый человек имеет родителей;

2) существуют равнобедренные треугольники;

3) солнце всходит на Западе;

4) пойдешь ли ты в гости?;

5) закрой дверь!;

6) сумма чисел 3 и 5 равна 8;

7) -5>-7;

8) разность чисел (-7) и 12 равна 5;

9) х>1/2;

10) разность чисел х и 5 равна 2.

Задание 2. Определить значение истинности следующих высказываний:

1) не существует параллелограмма со взаимно перпендикулярными диагона­лями;

2) все параллелограммы не имеют осей симметрии;

3) существуют параллелограммы, не имеющие осей симметрии;

4) диагонали ромба равны между собой;

5) диагонали ромба перпендикулярны;

6) все четные числа не делятся на 4;

7) все числа, делящиеся на 5, четные;

8) некоторые числа, делящиеся на 5, четные;

9) все четные числа делятся на 8;

10) некоторые равнобедренные треугольники являются прямоугольниками;

11) |2-4|=|2|-|4|;

12) 81 €N0;

13) -2,5 єЯ;

14) 23>32;

15) {1; 2; 3}и{3; 4}={1; 2; 4}. _

Задание 3. Образуйте отрицание А каждого из следующих высказываний А и укажите, истинно само высказывание или его отрицание:

1) число 2 отрицательно;

2) 5<7;

3) 8>5;

4) 2-6=6;

5) число 5 является делителем числа 123;

6) значение выражения 12:(2-2) существует;

7) существуют параллелограммы с равными диагоналями;

8) существуют четные простые числа;

9) неверно, что существуют нечетные простые числа;

10) любое простое число - четно.

Указание. Решение записывайте в следующем виде:

(7) А: существуют параллелограммы с равными диагоналями:

А - неверно, что существуют параллелограммы с равными диагоналями;

А=1; А=0.

Задание 4. Образуйте конъюнкцию двух данных высказываний А и В, опре­делите значение истинности конъюнкции, если:

1) А: 2-3=6, В: 8>6;

2) А: 3<8, В: 8<10;

3) А: 2>4, В: 2-8=10;

4) А: 25 кратно 5, В: 25 кратно 2;

5) Ф: 128 - четное число, В: 16<8.

Указание. Решение целесообразно записывать в следующем виде: (2) А: 3<8, В: 8<10, АлВ: (3<8)л(8<10)=1.

Задание 5. Среди следующих высказываний отыщите конъюнкции, запиши­те их символами логики и определите их значение истинности:

1) число 27 кратно 3 и 9;

2) 8<10<15;

3) диагонали любого параллелограмма перпендикулярны и делят друг друга пополам;

4) 15 кратно 3 и 12;

5) 5-2=6 и 35:7=5;

6) 15 - число простое и 15 не делится на 7. Задание 6. Пусть даны высказывания:

А- сегодня жарко;

В - сегодня идет дождь;

С - сегодня сухо;

Д - сегодня я не буду работать;

Е - сегодня я пойду в кино.

Запишите формулами следующие высказывания:

1) сегодня жарко и не идет дождь;

2) сегодня жарко и сыро;

3) сегодня сухо и я не буду работать;

4) сегодня я буду работать и не пойду в кино;

5) сегодня я не буду работать и пойду в кино;

6) сегодня идет дождь и я не буду работать.

Задание 7. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоре­чивы:

1) А=1; АлВ=0;

2) А=1; АлВ=1;

3) А =0; АлВ=1;

4) А=0; АлВ=0;

5) Ал А=1;

6) Ал А =0.

Задание 8. Найдите, при каких значениях А и В выполняются равенства:

1) (АлВ) л В = 1;

2) (а л А)л В - 0;

3) (А л В) л В = 0;

4) (А л В) л А = 1;

5) (А л В) л А - 0. Обоснуйте свой ответ. Ответ. (2) В=0, А- любое.

Задание 9. Первый автомобиль проехал 372 км, второй - 640 км, третий - 500 км. Первый автомобиль расходовал на каждые 3 км - 325 г бензина, второй - на каждые 4 км - 425 г бензина, третий - на каждые 5 км - 507 г. Сколько всего из­расходовано бензина?

Ответ. Израсходовано 159 кг бензина.

Задание 10. Из двух точек , расстояние между которыми 1320 м, выходят од­новременно навстречу друг другу два тела. Одно из них может пройти это рас­стояние за 12 минут, скорость другого в два раза больше скорости первого. Через сколько минут тела встретятся?

Ответ. Тела встретятся через 4 минуты.

IV. Задание на дом.

1. Повторить теоретический материал: Дизъюнкция высказываний. Совмест­ные операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции высказываний.

2. Пусть А: сегодня буду писать отчет; В: сегодня я буду отдыхать; С: на улице идет дождь.

Сформулируйте следующие высказывания:

1) А л В; 4)С л В;

2) (А л В); 5)С л А;

3) С л А; 6) А л В; 7) С л А.

3. Сформулируйте отрицания следующих высказываний:

1) все три числа а, в, с - натуральные;

2) некоторые из чисел а, в, с - натуральные;

3) ни одно из чисел а, в, с не является натуральным;

4) некоторые из чисел а, в, с не являются натуральными;

5) по крайней мере одно из чисел а, в, с является натуральным. Есть ли среди этих высказываний совпадающие?

Указание. Ответ на вопрос целесообразно сформулировать в следующем ви­де:

(3) Пусть - А: ни одно из чисел а, в, с не является натуральным;

тогда - А: неверно, что ни одно из чисел а, в, с не является натуральным;

тогда - А: каждое из чисел а, в, с является натуральным числом.

4. В двух амбарах 268 т зерна. Из первого амбара взяли 365 ц зерна, что со­ставило 1/3 часть того количества, что взяли из второго амбара. После этого зер­на в обоих амбарах оставалось поровну. Сколько зерна было в каждом амбаре первоначально?

Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (см. рис. 42)

365 ц

II •-

2 680 ц

Рис. 42

Ответ. В первом амбаре было 975 ц зерна, во втором амбаре - 1 705 ц зерна.