ЗАНЯТИЕ 11 Тема: Система координат на плоскости. Деление отрезка в отношении X.

I. Элементы теории.

1. Говорят, что точка С(хС; уС) делит отрезок [АВ], где А(хА, уА), В(хВ, уВ), в отношении А, если выполняется равенство:       = ^.

2. Координаты точки С(хС; уС), делящей отрезок [АВ], где А(хА; уА), В(хВ; уВ), в отношении А, вычисляются по формуле

х    _^ХБ + ХА  . _^УБ + УА

3. Координаты точки С(хС; уС), делящей отрезок [АВ] пополам, вычисляются по формуле

Хс _     2     ;   Ус "     2 .

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Найти координаты середины отрезка [АВ], точки С(хс; ус), если А(-2; 3), В(6; -9). Ответ. С(2; -3).

Задание 2. Концом отрезка служит точка А(8; 5), а серединой - точка С(5; -2). Найти координаты второго конца отрезка - точки В(хв; ув). Ответ. В(2; -9).

Задание 3. Серединами сторон треугольника АВС служат точки 3), Е(-1; -2), Б(4; -1). Найти координаты вершин треугольника А(хА; уА), В(хВ; уВ), С(хС;

ус).

Указание. В данной задаче (как и в ряде других) целесообразно использо­вать рисунок (см. рис. 39).

 

А (ха; уа) Г (4; -1) С (хс; ус)

Рис. 39

Задание 4. Точка С(хС; уС) делит отрезок [АВ] в отношении 3:5 (от А к В). Концами отрезка служат точки А(2; 3), В(10;11). Найти координаты точки

с(хс; ус).

Ответ. С(5; 6).

Задание 5. Отрезок, концы которого А(-11; 1) и В(9; 11), разделен в отноше­нии 2:3:5 (от А к В). Найти точки деления. Ответ. С(-7; 3), Д(-1; 6).

Задание 6. Концами отрезка служат точки А(-8; -5) и В(10; 4). Найти точки С(хС; уС) и Д(хд; уд), делящие этот отрезок на три равные части.

Ответ. С(-2; 2), Д(4; 1).

Задание 7. Точка С(3; 5) делит отрезок [АВ] в отношении АС:СВ=3:4. Най­дите начало отрезка - точку А (хА; уА), если его концом служит точка В(-1; 1). Ответ. А(6; 8).

Задача 8. Отрезок [АВ] задан точками А(-8; -3) и В(1; 2). До какой точки С(хС; уС) нужно продолжить отрезок [АВ], чтобы выполнялось |АВ|:|ВС|=5:3?

32

Ответ. с(~5-; 5).

Задание 9. Отрезок задан точками А(4; 6) и В(1; 3). До какой точки С(хС; уС) нужно продолжить этот отрезок в направлении от А к В, чтобы получить отрезок [ АС], длина которого была бы в три раза больше длины отрезка [АВ]?

Ответ. С(-5; -3).

Задание 10. Отрезок [АВ] разделен на пять равных частей. Один конец от­резка - точка А(8; 6), вторая точка деления (от А к В) - точка Д(2; 4). Найти точ­ку в(хв; ув).

Задание 11. Найти точку пересечения медиан треугольника АВС, если его вершины - А(7; -4), В(-1; 8), С(-12; -1).

Указание. Надо учесть, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.

Ответ. М(-2; 1).

Задание 12. Отрезок, заключенный между точками А(-6; 8) и В(9; 12), разде­лить в таком же отношении (от А к В), в котором находятся расстояния этих то­чек от начала координат. Найти координаты точки деления.

Ответ. М(0; 9,6).

Задание 13. Точки А(3; 2), В(-2; 1), С(1; -4) - вершины параллелограмма, А и С - противоположные вершины. Найти четвертую вершину параллелограмма

д(хд; уд).

Ответ. Д(6; -3)

Задание 14. Смежными вершинами параллелограмма служат точки А(-3; 1) и В(1; 3). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке М(1; -2). Найти две другие вершины параллелограмма.

Ответ. С(5; -5), Д(1; -7).

IV. Задание на дом.

1) Подготовиться к контрольной работе по теме: Задачи аналитический гео­метрии на плоскости.

2) Концом отрезка [АВ] служит точка А(-3; -5) и его серединой - точка С(3; -2). Найти второй конец отрезка - точку В(хВ; уВ).

Ответ. В(9; 1).

3) Даны координаты середин сторон треугольника М(2; 1), N(0; -4), Р(-4; -1). Найти координаты вершин треугольника А(ха; уа), В(хв; ув), С(хс; ус).

Ответ. А(6; -2), В(-2; 4), С(-6; -6).

4) Отрезок с концами А(-3; -2) и В(9; 6) делится точкой С(хс; ус) в отноше­нии 1:3 (от точки В к А). Найти точку С(хс; ус).

Ответ. С(6; 4).

5) Отрезок, концами которого служат точки А(-5; -2) и В(4; 5/2), разделен в отношении 3:4:2 от А к В. Найти точки деления.

Ответ. С(-2; -1/2), Д(2; 3/2).

6) Концами отрезка служат точки М(-7; -2) и N(13; 3). Найти координаты то­чек, делящих этот отрезок на пять равных частей.

Ответ. А(-3; -1), В(1; 0), С(5; 1), Д(9; 2).

7) Противоположными вершинами параллелограмма служат точки А(-4; 2) и С(2; -3), а также точки В(0; 1) и Д(х0; у0). Найти координаты точки Д(х0; у0).

Ответ. Д(-2; -2).