ЗАНЯТИЕ 8 Тема: Декартово произведение двух множеств.

I. Элементы теории.

1. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар вида (а; в), где а е А, в еВ.

Обозначается: А х В={(а;Ь) | аеА, ЬеВ}.

2. Если множества А и В числовые, то элементами декартова произведения А х В являются числовые пары (а; в).

3. Если множества А и В конечны, то декартово произведение содержит ко­нечное множество пар вида (а; в); часто их можно все перечислить.

4. Если хотя бы одно из множеств А или В бесконечно, то декартово произ­ведение А х В содержит бесконечное множество пар и поэтому его целесообраз­но изобразить графически.

5. Декартово произведение множества А на себя называется декартовым квадратом.

Обозначается: А х А=А2.

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Запишите все двузначные числа, цифры десятков которых при­надлежат множеству А={5; 6; 7}, а цифры единиц множеству В={1; 2}.

Задание 2. Напишите все правильные дроби, числители которых выбираются из множества А={5; 6}, а знаменатели из множества В={7; 8; 9}.

Задание 3. Для множеств А={3; 4} и В={а; Ь} составьте декартовы произве­дения А х В и В х А.

Выполняется ли равенство А х В=В х А?

Задание 4. Найдите множества А и В, если:

А х В={(с; а), (с; у), (т; а), (т; у), (о; а), (о; у), (л; а), (л; у)}.

Задание 5. Найдите декартов квадрат множества А={5; 6; 7}. Сколько эле­ментов содержит этот декартов квадрат?

Задание 6. Найдите декартово произведение множеств А и В и изобразите их элементы на координатной плоскости, если:

1) А={1; 2; 3}; В={3; 4}; 15) А=[-1; 2], В={2};

2) А=Ч В={3; 4};

3) А={1; 2; 3}, В=2;

4) А=г, В=К;

5) А=[-1; 3],В=[2; 4];

6) А=[2; 4], В=(-1; 2];

7) А=[-1; 1), В=[-2; 3];

8) А=(-3; 2], В=[-1; 4];

9) А=[-1; 1], В=(-2; 3);

10) А=[-3; 1), В=(-2; 2);

11) А=(-1; 1), В=(1; 3];

12) А=(-1; 1), В=(1;2);

13) А=[-3; 1), В={1; 2};

14) А=(-3; 2), В={2; 3; 4}; Указание. Иллюстрации

16) А={3}, В=(2; 5);

17) А=[-1; 2], В=К;

18) А=г\Г, В=(3; 4];

19) А=г, В=(2; 5);

20) А=г, В=[-2; 2];

21) А=[2; 4], В={4};

22) А=г, В=[2; 5];

23) А=[5; 6], В=Я;

24) А=(-1; 3], В=Я;

25) А=Я, В=[-2; 1);

26) А=Я, В=(-2; 2);

27) А=Я, В=К;

28) А=Ъ, В=Я.

решениям целесообразно представлять в следую-

(2)

В

(6)

1  2 3 4

А

В

 

4

А

А=К, В={3; 4};

А=[2; 4], В=(-1; 2];

2

0

0

2

♦в

(14)

(15)

о о ■ ■

_2 _2

-3 0       2       А -1 0 _    2 А

А=(-3; 2), В={2; 3; 4}; А=[-1; 2], В={2};

Рис. 34а

4

3

(17)

I—I—

-1 0

В

(23)

4

3

2

1

—I—I—I—^

2 А

0

В

А=[-1; 2], В=К;

-I—I—I———I—г-^5^6А

А=[5; 6], В=К

Рис. 34б

Задание 7. Постройте на координатной плоскости множество точек, коорди­наты которых удовлетворяют условию:

1) хеЯ, у=5; 8) |х|<4, |у|=2;

2) хеЯ, |у|=1; 9) |х|=2, |у|<1;

3) х=-2; у=Я; 10) |х|=5, |у|<3;

4) |х|=2, |у|=12; 11) |х|=1, |у|>3;

5) хеЯ, у>2; 12) |х|<2, |у|<2;

6) хеЯ, у<1; 13) |х|<3, |у|>2;

7) хеЯ, |у|<2; 14) |х|>2, |у|>4; Ответ. (рис. 35а и 35б).

у

(2)

(8)

_2_

-1

X

4 Р _ 4 х ■-•

-2

хєЯ, |у|=1;

|х|<4, |у|=2;

Рис. 35а

-3 р

уА_

 

2

\3 х

|x|<3, |у|>2. Рис. 35б

Задание 8. Из городов А и В, расстояние между которыми 540 км, в 4 часа утра вышли навстречу друг другу грузовая и легковая автомашины, которые встретились в 8 часов утра, причем легковая машина прошла на 108 км больше, чем грузовая. В котором часу каждая машина придет к месту назначения, про­должая путь с прежней скоростью?

Ответ. К пункту назначения легковая автомашина придет в 10 часов 40 ми­нут, а грузовая в 14 часов.

IV. Задание на дом.

1) Повторить теоретический материал: Система координат на прямой.

2) Прорешайте те номера заданий 6) - 7), которые не выполнили в аудитории.

3) Задача.

Турист проехал 280 км. На автомашине он проехал на 180 км больше, чем на пароходе; а на автомашине и пароходе вместе на 240 км больше, чем на велоси­педе. Сколько км проехал турист каждым транспортом?

Указание. Воспользуйтесь рисунком (рис. 36).

A. ' " П

180 км

А+П.    " ~ _

240 км

B. •-•

Рис. 36

Ответ. На автомашине турист проехал 220 км, на пароходе - 40 км и на велосипеде - 20 км.