ЗАНЯТИЕ 7 Тема: Разность и дополнение множеств. Обобщение операций с множествами.

I. Элементы теории.

1. Разностью множеств А и В называется новое множество С, содержащее те и только те элементы множества А, которые не содержатся в множестве В.

Обозначение: А\В =С;

\ - знак разности; или А\В={х|хеА и х£ В}.

2. Если ВссА, то разность А/В называется дополнением множества В до мно­жества А. Дополнение множества А в универсальном множестве и обозначается А.

3. Разность и дополнение можно изобразить кругами Эйлера (рис. 29).

А В

В

А

а) Н- А\В; б) Ш А\В в) П- A.

ВеА;

Рис. 29.

4. Множество (А\В)и(В\А) называется симметрической разностью множеств А и В.

Обозначается (А/В)и(В\А)=АлВ

II. Устный счет.

III. Упражнения.

Задание 1. Найти разности А\В и В\А множеств А и В, если:

1) А={1; 2; 3;     10}, B={5; 6; 12};

2) А - множество натуральных делителей числа 18; В - множество натураль­ных делителей 24;

3) А - множество правильных многоугольников, В - множество прямоуголь­ников;

4) A={x|xeR, 2^<6}, B={ x|xeR, 3<x<7};

5) A={x|xeR, 1^4}, B={ x|xeR, 2<зс<8};

6) A={x|xeR, 0<x<2}, B={ x|xeR, 1<зс<3};

7) A={x|xeR, -2<x<3}, B={ x|xeR, 0<x<5};

8) A={x|xeR, -аК^}, B={ x|xeR, 1<к<5};

9) A={x|xeR, -оо^^}, B={ x|xeR, 0<зс<6};

10) A=[3; 5], B=[4; 8];

11) A=(3; 6), B=(4; 8];

12) A=(3; 8), B=(2; 9];

13) A=(-2; 1), B=[0; 3);

14) A=N, B=[0; 4];

15) A=(0; 2), B=N;

16) A=No, B=[0; 5).

Указание. Для решения целесообразно использовать числовую прямую. Задание 2. Найти дополнение множества В до множества А, если ВсА:

1) А=Ч B={2; 4; 6; ...2п; ...};

2) A=Z, B=N;

3) A={x|xeR, 2<x<6}, B={ x|xG 12, 3^<5};

4) A={x|xeR, 1^4}, B={ x|xeR, 2<x<4};

5) Л^^еЫ, 0^<2}, B={ x|xeR, 1^<2};

6) Л^^еЫ, -оо^^}, B={ x|xeR, -6<x<0};

7) Л^^еЫ, -оо^^}, B={ x|xeR, 1<с<2};

8) Л^^еЫ, ^^^^ B={ x|xeR, 0<x<3};

9) Л=(-о; о), B=(-2; о);

10) Л=(-о; 5], B=(0; 1];

11) A=[3; о), B=[5; 6];

12) A=(-8; 6), B=[0; 2);

13) A=No, B=N;

14) A=R, B= J (иррациональные числа);

15) А=Q, B=Q:.

Указание 1. Целесообразно пользоваться числовой прямой. Указание 2. Образец решения: (5) (рис. 30).

 

0        1 2

A\В ={х|хеЫ, 0<x<2}\{x|xeR, 1<x<2}= [0; 1].

Рис. 30

Задание 3. Найти симметрическую разность множеств А и В, если:

1) А={-5; -4; ... ; 10}, B={3; 4; 15};

2) A=[0; 4], B=(-2; 3];

3) A=[0; 4], B=(1; 4];

4) A=[1; 5], B=(1; 3];

5) A=(0; 1), B=(2; 4];

6) Л=(-о;2], B=[5; ■+»).

Указание. Целесообразно для решения пользоваться числовой прямой.

Ответ. (1) {-5; -4; ... 2; 11; 12; 15}; (2) (-2; 0)и(3; 4]; (3) [0; 1]; (4) (3; 5]; (5) (0; 1)и(2; 4]; (6) (-о; 2]и[5; о). ___

Задание 4. Пусть даны множества А, В, С и A, B, C - дополнения соответст­вующих множеств А, В, С до универсального множества и. Изобразите при по­мощи кругов Эйлера следующие множества: (АпВпС^0):

1) (Л и Ё) п С; 7) (в\С)и A;

2) (Л и Ё) п С; 8) ЛпБпС;

3) (Л\Б) п С; 9) (Л и Б)\С;

4) (Л и ё) п С; 10) (в\л)п С;

5) Л\(БпС); 11) (ёиС)\Л;

6) (А\с)и В;

12) А и В и С.

Указание. Изобразить на кругах Эйлера искомые множества целесообразно в следующем порядке: (6) (а \ с) и В :

- штрихуем разность А\С;

- другим рисунком штрихуем дополнение (А \ с);

- новым рисунком штрихуем объединение (А \ с) и В; (обводим контуром) (рис. 31).

Задание 5. Используя круги Эйлера докажите следующие равенства:

1) (Апв) = л и в;

2) л и в - л п в;

3) (а и в) = а и в;

4) (а и в] = л п в;

5) АаВ=БаА;

6) (АаВ)аБ=А;

7) (Аав)аС=Аа(БаС);

8) ЛаВ=(АиВ)\(ЛпВ);

9) ЛиВ=(Аав)а(ЛпВ);

10) (В\А)а(С\А)=(АиВ)а(ЛиС).

Указание. При доказательстве равенств целесообразно делать отдельные изображения для левой и правой частей равенства (рис. 32).

(5) АаВ (А\В)и(В\А)

ВаА (В\А)и(А\В)

 

 

- в\А

О- а\в ф - ВаА

 

Рис. 32

IV. Задание на дом.

1. Прорешайте те номера из заданных 1) - 5), которые не решали на занятиях в аудитории.

2. Задача. На книжном складе учебников по физике в четыре раза больше, чем по алгебре; по геометрии в два раза меньше, чем по алгебре. Учебников по геометрии было на 30450 штук меньше, чем по физике. Сколько учебников по физике отправлено со склада, если после отправки осталось на 28620 штук меньше, чем отправлено?

Указание. Целесообразно использовать схематический рисунок (рис. 33).

Ответ. Учебников по физике отправлено 31 710 штук.