1.4. Предпочтение и полезность. Бинарные соотношения как средство описания предпочтительности исходов

При изучении проблем построения целенаправленных систем и принятия оптимальных решений всегда приходится учитывать цели, желания и нужды тех, кто управляет такими системами или ставится перед необходимостью принятия решения. Именно поэтому исследо­вание полезности представляет собой основу теории и практики ис­следования операций и теории игр.

Термин "полезность" имеет два разных значения.

Первое - это качественная, или сравнительная оценка, характе­ризуемая такими утверждениями, как: "Я ценю это больше, чем то" или "Я предпочитаю Х, а не У". Второе значение этого термина - ко­личественная оценка, когда мы в виде числа выражаем наше предпоч­тение, пытаясь отразить его сравнительную природу.

Учитывая такую двойственность, будем использовать термин "ПРЕДПОЧТЕНИЕ" для отображения качественной характеристики объекта, а термин "ПОЛЕЗНОСТЬ" - для количественного представ­ления предпочтений.

Так, например, в шахматах предпочтение той или иной страте­гии невозможно оценить количественно. Здесь возможна только каче­ственная оценка: "Этот ход лучше, сильнее". В этом случае применимо отношение "предпочтения". При решении задач перевозки грузов, размещения заказов, распределения боевых средств по объектам пора­жения и т.п. применимо отношение "полезности" с количественной оценкой целевой функции, на основании которого отдают предпочте­ние тому или другому решению. Это описывается в виде некоторого абстрактного отношения - бинарного.

Для дальнейшего изложения материала рассмотрим некоторые основополагающие понятия теории множеств.

1. МНОЖЕСТВОМ принято называть совокупность различимых между собой объектов одинаковой природы. Каждый из таких объек­тов в отдельности есть ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА. Принадлежность некоторого элемента е множеству Е обозначается ее Е. Множества Е1 и Е2 равны (Е1=Е2), если они содержат одни и те же элементы.

2. Множество Е' представляет собой некоторое ПОДМНОЖЕС­ТВО множества Е (обозначается Е'сЕ), если каждый элемент, принад­лежащий Е', одновременно принадлежит и Е. Множество называется ПУСТЫМ МНОЖЕСТВОМ (Е'=0), если оно не содержит ни одного элемента.

3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ Е1 И Е2 (обозначается Е1пЕ2) есть множество всех элементов е, содержащихся и в Е1, и в Е2 (рис. 1.1). Множества Е1 и Е2 являются непересекающимися, если от­сутствуют элементы, входящие одновременно и в Е1, и в Е2 (рис. 1.2).

4. ОТНОШЕНИЕМ, существующим НА МНОЖЕСТВЕ Е, назы­вается форма связи между элементами или подмножествами этого множества. Отношения определяются словами ("быть меньше, чем "обладать свойствами делимости на "быть одинаковым с ...") или символами, если они общеприняты ("=", "<", ">", " 1 ").

5. Числовое множество Е называется УПОРЯДОЧЕННЫМ, если любые два его элемента е1 и е2 связаны либо отношением е1>е2, либо отношением е1<е2. Например, множество всех действительных чисел. Те или иные отношения могут существовать и между элементами раз­личных множеств.

БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ является фундаментальным поня­тием в теории предпочтений. Математические справочники трактуют, что бинарное отношение - это двуместный предикат на заданном под­множестве. А предикат - это функция, позволяющая определить логи­ческие законы, взаимные соотношения упорядоченных элементов не­пустого множества. Объединив эти два определения, можем сказать, что БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ - это функция, позволяющая опреде­лить логические законы и взаимные соотношения упорядоченных пар (х,у) элементов заданного множества Х.

Бинарное отношение Я на непустом множестве X есть подмно­жество множества всех упорядоченных пар элементов Х, которое зада­ется прямым произведением Х х Х = {(х,у): хеХ, уеХ}. Запись хЫу (читается: х находится в отношении Я к у) означает, что (х,у) принад­лежит Я; аналогично не хЯу (записывается как хЯу) означает, что (х,у) не принадлежит Я или, что х не находится в отношении Я к у. То есть тот факт, что игрок (или коалиция игроков) предпочитает ситуацию х ситуации у записывается в виде хфу (иногда в виде х фку).

В теории предпочтений используются два основных бинарных соотношения на множестве Х. Во-первых, отношение нестрогого предпочтения ф. Запись х ф у читается: "х либо предпочтительнее, чем у, либо безразличен к у". Чаще пользуются формулировкой: "у не предпочтительнее, чем х"). Во-вторых, применяется отношение стро­гого предпочтения ф. Запись х ф у читается так: "х предпочтительнее, чем у".

На вопрос о том, какое из двух отношений (ф или ф ) взять в ка­честве основного бинарного отношения, каждый отвечает в соответст­вии со своими личными вкусами. Поскольку автор предпочитает от­ношение ф, то оно будет во всех дальнейших рассуждениях выполнять роль основного бинарного отношения.