Граничные условия для нормальных составляющих

Определим соотношение между нормальными составляющими поля. Для этого построим на плоской границе раздела цилинд, охва­тывающий обе среды (рис 19).

А 51

 

Рисунок 19 - К определению граничных условий нормальных со­ставляющих

Считаем, что Ак 0 . Основания цилиндров лежат в разных средах. Цилиндр настолько мал, что внутри него величины и направ­ления полей в каждой из сред можно считать неизменными. На по­верхности £ в бесконечно тонком слое может в общем случае нахо­диться поверхностный заряд с плотностью:

ССд откуда д

Применим к поверхности цилиндра теорему О-Г. С учетом направления нормали п имеем:

+ поток через _ бок _ пов = \рС8 . (84)

5

А5

При Ак 0 поток вектора через боковую поверхность будет бесконечно малым и им можно пренебречь. После интегрирования и сокращения на А51 = А52 = А52 получим:

(Б 2 - Ц П = Р. (85) Из выражения (85) следует, что нормальная составляющая вектора электрической индукции при переходе через границу поверх­ности при наличии зарядов на ней претерпевают скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда.

Физически это обусловлено тем, что заряд, расположенный на поверхности, создаёт собственное поле, ориентированное таким обра­зом, что по одну сторону от границы раздела это поле складывается с внешним полем, а по другую вычитается.

При отсутствии на поверхности С зарядов (р=0) нормальные составляющие вектора эл. индукции на границе двух сред непрерыв­ны, а нормальные составляющие вектора Е терпят скачок.

Бт = Бп2 ; (^о )і Епі = (&о X Еп2 . (86) Из четвёртого уравнения Максвелла следует:

|Бё5 = 0 . Аналогично предыдущему получаем:

(Б 2 - Б )п = 0, Бп1 = Бп2, (иц,) Ип1 = (ци )2 Нп 2. (87)

Если ох     оо, то В, = 0,      =      =      =       = 0.

Выводы. Нормальная составляющая вектора магнитной индук­ции при переходе через границу двух сред не изменяется, а напряжён­ность магнитного поля на границе испытывает скачок. Для идеаль­ного проводника Нп = 0, т.е. магнитные силовые линии всегда ка-сательны к поверхности идеального проводника.