Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция напряженности электрического поля

Поток вектора электрической индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность 8 равен алгебраической сумме свободныхэлектрических зарядов чг, охватываемых этой поверхностью

п

Фе = § Г>(Ё

= 2Ч, ■

(6)

5 *=1

Выражение (6) представляет собой теорему О-Г в интегральном виде. Теорема 0-Г оперирует с интегральным (суммарным) эффектом, т.е. если Фе = 0 то неизвестно, означает ли это отсутствие зарядов во всех точках исследуемой части пространства, или, то, что сумма по­ложительных и отрицательных зарядов, расположенных в разных точ­ках этого пространства равны нулю.

Для нахождения расположенных зарядов и их величины по за­данному полю необходимо соотношение, связывающее вектор элек­трической индукции 1 в данной точке с зарядом в той же точке.

Предположим, что нам нужно определить наличие заряда в точке а (рис.2)

 

Рисунок 2 - К расчету дивергенции вектора

Применим теорему О-Г. Поток вектора электрической ин­дукции через произвольную поверхность, ограничивающую объ­ем, в которой находится точка а, равен

Фе = § В(Ё = 2 Ч, ■

Алгебраическую сумму зарядов в объеме можно записать в виде объемного интеграла

N

г=\ V

(7)

2

6

де    р - заряд, отнесенный к единице объема V ; (V - элемент объема.

Для получения связи между полем и зарядом в точке а будем уменьшать объем, стягивая поверхность к точке а. При этом разделим обе части нашего равенства на величину V . Переходя к пределу, по­лучим:

ИГЛ = ИНГ

V ->0

V V

XV ->0

Правая часть полученного выражения является по определению объемной плотностью заряда в рассмотренной точке пространства. Левая часть представляет собой предел отношения потока вектора электрической индукции через замкнутую поверхность к объему, ог­раниченному этой поверхностью, когда объем стремится к нулю. Эта скалярная величина является важной характеристикой электрического

поля и носит название дивергенции вектора 1 .

Таким образом:

Игл ^-тг- = Шу1 >

V ->0 У

следовательно

^   д1х   д1т   д12 /оч (гу1 =—— + —- +--       = р, (8)

дХ     дУ д1

где р - объемная плотность заряда.

При помощи этого соотношения просто решается обратная за­дача электростатики, т.е. нахождение распределенных зарядов по из­вестному полю.

Если вектор 1 задан, значит известны его проекции 1Х, 1У , 12 на координатные оси как функции координат и для вычисления распределенной плотности зарядов, создавших заданное поле, оказы­вается достаточно найти сумму трех частных производных этих про­екций по соответствующим переменным. В тех точках для которых

= 0 зарядов нет. В точках где положительна, имеется положительный заряд с объемной плотностью, равной , а в тех

точках где будет иметь отрицательное значение, находится от-

рицательный заряд, плотность которого также определяется значени­ем дивергенции.

Выражение (8) представляет теорему 0-Г в дифференциальной форме. В такой форме теорема показывает, что источниками элек­трического поля является свободные электрические заряды; си­ловые линии вектора электрической индукции начинаются и заканчи­ваются соответственно на положительных и отрицательных зарядах.