4.3.   Регулярная задача Штурма-Лиувилля

Оператор Ь (4.4) называется регулярным оператором Штурма-Лиувилля, если р,р > 0. Задача (4.5)-(4.6) называется регулярной, если Ь — регулярный опера­тор Штурма-Лиувилля.

Отметим некоторые свойства решений регулярной задачи Штурма-Лиувилля.

1. Корни собственных функций просты.

Действительно, если у(хо) = 0 и у'(х0) = 0, то в силу единственности решения задачи Коши у(х) = 0.

2. Каждому собственному значению отвечает единственная с точностью до мно­жителя собственная функция (т.е. собственные числа оператора Штурма-Лиувилля — простые).

Действительно, пусть у1 и у2 — собственные функции, отвечающие собствен­ному значению А. Заметим, что однородная система (относительно переменных ао и а\)

{аоУ\(а) + а\у'-у(а) = 0 , аоУ2(а) + аху^ (а) = 0

имеет нетривиальное решение, что возможно только, если определитель систе­мы равен нулю. Это означает, что определитель Вронского решений

^ [ух, У2] = у 1у2 — У2У1

равен нулю (в точке а и, следовательно, равен нулю тождественно), откуда и вытекает линейная зависимость решений у  и у2.

3. Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля вещественны. Соответству­ющие им собственные функции могут быть выбраны вещественными.

Для доказательства заметим, сначала, что интегрирование по частям два раза приводит к равенству

ь ь

^[а/ ~ (р/')']дЛх = рШ[/,д]   + I /[ад — (рд')'] Лх.

а а

Если / и д — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие краевым условиям задачи (т.е. /,д € У2), то в силу краевых условий определитель Вронского Ш[/, д] обращается в ноль в точках а и 6.  Введем скалярное произведение и соответствующую норму, полагая

(/\э) =    /д ра"х,    ||/1| = \/(/1/} .

(4.9)

Тогда полученное выше равенство (при нулевых внеинтегральных членах) при-

мет вид

10

(Ь[/]\д) = (/\Ь[д]) .

Это свойство называется симметричностью оператора Ь. Если теперь у — соб­ственная функция, отвечающая собственному значению А, то

■МЫ!2 = (Ь[у]|у) = (у|Ь[у]} = А||у||2,

откуда в силу ||у|| = 0 получаем А = А, т.е. А — вещественно.

Далее заметим, что в силу линейности уравнения Ь[у] = Ау и вещественности функций р,р и у отдельно вещественная и мнимая части собственной функции у будут являться решениями этого уравнения.

10 Здесь важную роль играет вещественность функций р и д.

В дальнейшем мы всегда будем предполагать вещественность собственных функций.

4. Различным собственным значениям А1 и А2 отвечают ортогональные собствен­ные функции у1 и у2:

Действительно,

(У1 |У2) = IУ1У2 рЛх = 0 .

(А1 — А2 ) (У1 |У2) = (Ь[у1]|у2) — (у1 |Ь[у2]} = 0 .

5. Собственные числа образуют бесконечную монотонно возрастающую последо­вательность, стремящуюся к бесконечности

А1 < А2 < ... < Ап < ...

Это свойство будет доказано в курсе вариационного исчислениия, см. файл var.pdf.

Рассмотрим унитарное пространство непрерывных дифференцируемых функций, удовлетворяющих краевым условиям (4.6), определяя скалярное произведение ра­венством (4.9). Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля уп будем считать нормированными:

ь

||упу2 = / |уп(х)|2р(х) о!х = 1.

Тогда они образуют ортонормированную систему. Коэффициенты Фурье функции / (из описанного унитарного пространства) относительно такой ортонормированной системы определены соотношением

сп(/) = (/\Уп) = / /(х)уп(х)р(х) а\х .

Разложение функции / в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля имеет вид

/        с"(/)У" ■

п=1

Можно показать, что системы собственных функций регулярных задач Штурма-Лиувилля полны (замкнуты), так что ряд Фурье сходится к функции в среднеквад­ратичном.