Лекція 16. Симетрія механічних систем та її класифікація

Поняття симетрії як закону побудови структурних об'єктів є дуже широким. Так А.В. Шубников і В.А. Копцик називають симетричним "такий предмет, що складається з геометрічно і фізично рівних частин, належним образом розташовані одна відносно іншої; нале не розташування потребує, щоб упорядкованість була у визначеному змісті однакова для всіх частин".

Таким чином, симетрична механічна система повинна припускати членування на однакові частини. У більшості випадків членування мо е бути виконано як за кількістю частин так і за їхнєю конфігурацією. Надалі передбачається, що система розчленована на максимально мо ливе число однакових частин, що називаються елементарними чарунками. Відзначимо, що елементарні чарунки мо уть бути сполучені одна з одною єдиним способом. Занумеруємо отримані чарунки числами 0...П у довільному порядку й обмежимося розглядом таких систем, для яких число К кінцеве.

Мо ливість членування механічної системи на елементарні чарунки є лише необхідною умовою симетрії. Щоб перевірити, чи є система, що складається з К чарунок, симетричною, введемо в розгляд її копію з такожпронумерованими чарунками. Будемо називати оригінал нерухомою системою 8н, а копію - рухливою системою 8р. Переміщуючи систему 8р як жорстке ціле, сумістимо її нульову чарунку з і-ою чарункою системи 8н. Якщо при цьому відбудеться повне суміщення обох систем (включаючи внутрішні зв'язки і закріплення до "землі") і цей збіг буде виконуватися при всіх значеннях і = 0...П, то таку механічну систему будемо називати симетричною з симетрією першого роду.

Сполучимо системи 8н і 8р так, щоб чарунки з однаковими номерами збігалися. Переміщення, що переводить систему з даного вихідного поло ення в поло ення, коли нульова чарунка 8р збігається з і-ю чарункою 8н, назвемо переміщенням Існує К різноманітних переміщень, що переводять систему 8р з одного поло ення, що збігається з системою 8н, в інше таке положення: до;... .; причому переміщення до не змінює поло ення рухливої системи і називається тривіальним.

Відомо, що будь-яке переміщення твердого тіла в тривимірному просторі мо на розкласти на елементарні переміщення: поступальне переміщення (трансляцію) і поворот навколо нерухомої осі. Аналізовані механічні системи з кінцевим числом елементарних чарунок мають таку особливість, що будь-яке їхнє переміщення = 0...п) можна уявити як поворот навколо осі, пов'язаної з нерухомою системою 8н. Це дозволяє виключити з розгляду трансляцію. Симетрична система мо е мати декілька таких осей, що називаються поворотними осями симетрії або елементами симетрії системи. Порядком осі симетрії називають число переміщень (включаючи тривіальне) із = 0...п), що є поворотами відносно цієї осі. Вісь симетрії п-го порядку позначають звичайно Сп.

Класифікація симетричних систем виконується на основі елементів симетрії. Існують п'ять типів симетрії першого роду.

Циклічна симетрія Сп характеризується наявністю в системи однієї поворотної осі п-го порядку. Такою симетрією володіють башта, купола, градирні й інші аналогічні конструкції. Система із симетрією Сп розбивається на п елементарних чарунок. Приклади тіл із циклічною симетрією показані на рис. 4.9. Одна з елементарних чарунок на цьому і наступних рисунках заштрихована.

Розглянуте вище трактування симетрії можна розширити, якщо вва ати сумісними не тільки два однакових тіла, але тако тіло і його дзеркальне відобра ення. Нехай дослід увану систему мо на розбити на чарунки двох типів так, щоб чарунка одного типу була дзеркальним відобра ення чарунок іншого типу. Нехай загальне число чарунок дорівнює Ь+1 і усі вони занумеровані довільним чином без розподілу на типи. Розглядаючи нерухому систему 8н і її рухому копію 8р, помічаємо, що процедура суміщення нульової чарунки рухливої системи з чарунками нерухомої системи здійснена тільки для чарунок того типу, що і нульова. Для чарунок системи 8н, що є дзеркальним відбитком нульової чарунки,будемо виконувати суміщення, використовуючи замість системи 8р її дзеркальне відображення. Якщо при всіх К суміщеннях відбувається повний збіг систем 8н і 8р, то таку механічну систему будемо називати симетричною з симетрією другого роду. Надалі, говорячи про суміщення систем 8н і 8р, не будемо спеціально обумовлювати випадки, коли в якості системи використовується її дзеркальний відбиток.

Аналогічно тому, як це було зроблено для систем із симетрією першого роду, будемо розглядати переміщення до;... .; дь системи 8р, що переводять її з одного поло ення, сполученого з 8н, в інше таке поло ення. Якщо в число елементарних переміщень, крім трансляції і повороту навколо осі, додати дзеркальний відбиток у площині, пов'язаної з нерухомою системою, то будь-які переміщення = 0... її) для систем із симетрією другого роду мо на тако розкласти на елементарні. Як і у випадку симетрії першого роду для систем із кінцевим числом чарунок мо на обійтися без трансляції. При цьому якщо якесь із переміщень розкладається на відбиток і поворот, то площину відбитка і поворотної осі мо на вибирати так, щоб вони були взаємно ортогональними. Таке переміщення називатиметься дзеркальним поворотом навколо осі, а цю вісь, пов'язану із системою 8н -дзеркально-поворотною віссю симетрії. Дзеркально-поворотна вісь характеризується порядком 2п і позначається символом 62п. Серед переміщень = 0...Ї), що є поворотами і дзеркальними поворотами навколо осі 62п, є рівно п простих і п дзеркальних поворотів. Особливу роль грає поворот на кут ті. Неважко перевірити, що переміщення не залежить від напрямку осі і площини відбитка. Це переміщення називається інверсією, а точка перетинання осі і площини - центром інверсії або центром симетрії.

Таким чином, у симетричних систем із симетрією другого роду в якості елементів симетрії виступають не тільки поворотні осі і центр симетрії. За допомогою цих елементів виконується класифікація типів симетрії другого роду, існує дев'ять таких типів.

1-циклічні сите и

С2

с6

 

Сп

 

1X1

2-дієдральна система Рис.4.9. Симетрична система з

симетрією першого роду

Симетрія дзеркальних поворотів 62п характеризується наявністю однієї дзеркально-поворотної осі 82п порядку 2п, причому інші елементи симетрії відсутні. Тіло із симетрією 82п можна розчленувати на 2п елементарних осередків.

Задача граничної рівноваги та оптимізації балок і рам

Граничним станом конструкції вважається її пластична руйнація, що відбувається внаслідок накопичення пластичних деформацій, які призводять до необме еного їхнього ростання при постійному наванта енні. Наванта ення, що відповідає цій фазі роботи конструкцій, називається граничним або руйнуючим. Напру ений стан конструкції характеризується вектором згинаючих моментів {М}, деформований стан - векторами швидкостей пластичних деформацій {6+}і{6-} та швидкостей переміщень {и}. Останнє пояснюється тим, що абсолютні розміри пластичних деформацій і переміщень у даний момент часу встановити неможливо. Тому в якості їхньої характеристики приймаються збільшення пластичних деформацій і переміщень за одиницю часу, які називаються швидкостями.н і

Визначення граничного навантаження

Задача розв'язується в такій постановці. Вважаються заданими: контур осей конструкції (рами, балки); місця додавання і напрямки зовнішнього навантаження {Б} = {т|}Р, де {г|} - заданий вектор, що визначає напрямок дії співвідношення між окремими силами, а Б - параметр, який шукають; тримальна   спромо ність   перетинів   стер нів,   що характеризується

Т.

граничними згинаючими моментами {Мо} = {Мо,1, Мо,2,..., Мо,п} Потрібно обчислити параметр граничного наванта ення і напру ено-деформований стан у стадії пластичної руйнації. Задача

Визначити параметр граничного наванта ення для балки зобра еної на рис. 4.10. Значення параметра граничного згинаючого моменту Мо = 10 кНм.

Вказівки. Аналізована балка двічі статично невизначена (К=2). Позна­чимо на балці 9 розрахункових перетинів, розчленовуючи її на елементи (стержні) і вузли. Тоді ступінь свободи т = 9-2=7.

Отримана дискретна модель зображена на рис. 4.10,б. Якщо показані місця додавання всіх складових зовнішнього наванта ення, їхні позитивні напрямки і співвідношення мі окремими силами. Таким чином, вектор згинаючих моментів

{М} = {М1, Мж М3, М4, М5, М6, М7, М8,М9}Т, а вектор зовнішнього навантаження

{Б} =      Б2, Бз, Б4, Б5, Бб, Б7}Т =        = {0;0;0;0;3;1,5;2}Т Б.

Заданий вектор граничних моментів

{Мо} = {15;15;15;15;20;20;20;20}Т Насамперед складемо рівняння рівноваги [А]-{М} ={Б}. Якщо ступінь свободи т=7, отже, необхідно скласти сім лінійно незалежних рівнянь рівноваги.

Епюра моментів при руйнації балки наведена на рис.4.11. Пунктирними лініями позначені межі зміни моментів у пружній частині балки. Очевидно, що оптимальний план задачі дає одне з можливих розподілів моментів у цій частині (на рис. 4.11 це нижня пунктирна лінія). Балка повинна бути навантажена силою Б5 = 3Р0, де Б0=7,32кН - отримане значення параметра граничного навантаження, і моментом М2 = 15 кНм. Це розв'язання на 4.11,б позначено суцільною лінією. Розв'язання задач оптимізаціїконструкції

Задача розв' язується в такій постановці. Вважаються заданими: контур осей конструкції (балки, рами); значення діючого навантаження; вид функції, цілі задачі та її коефіцієнти. Потрібно визначити розподіл граничних моментів окремих стержнів або їхніх груп, що відповідаєзаданому критерію оптимальності, і напружено-деформований стан в умовах пластичної руйнації. Шукані граничні моменти описуються по-мірним

вектором {Мо}={Моі, Мо2, Моп} Розв'язуючи цю пару двоїстих задач, визначаємо шуканий вектор граничних моментів {Мо} і вектори напружено-деформованого стану {М}, {6+}, {б-}, {и}. При дослідженні розв'язань будемо користуватися такими висновками:

- якщо в статичному формулюванні всі граничні моменти більше 0 і К+по лінійно незалежних умов текучості задоволені як рівності, а в кінематичному формулюванні К+по невідомі б] відмінні від нуля, то отримано єдине розв' язання двоїстої пари задач. таке розв' язання відповідає повному пластичному механізму руйнації з К+по пластичними шарнірами;

- якщо більше ніж К+по лінійно незалежних умов текучості стануть рівностями, то такій виродженій задачі в статичному формулюванні відповідатиме надлишковий механізм пластичної руйнації. У даному випадку розподіл швидкостей деформацій буде не єдиним;

- якщо в оптимальний план увійде менше ніж К+по невідомого б]+ і б]-, то такій виродженій задачі в кінематичному формулюванні буде відповідати частковий механізм пластичної руйнації. У цьому випадку одержимо не єдиний розподіл вигинаючих моментів при пластичній руйнації в тих місцях, де швидкості пластичних деформацій дорівнюють нулю.

Питання для самоперевірки

1. Як розв'язуються задачі оптимізації конструкції?

2. Визначення граничного навантаження.

3. Класифікація симетричних систем. Типи симетрії першого роду.

Література

1. Напольский Г.М. Технологическое проектирование автотранспортных предприятий и станций технического обслуживания. - М.: Транспорт, 1985. - 23 с.

2. Табель технологического оборудования автотранспортых предприятий. -К., 1984. - 179 с.

3. Детали машин / К.И. Заблонский. - К.: Вища шк., 1985. - 518 с.

4. Прикладная механика: Учеб. пособие для вузов / К.И. Заблонский. - К.: Вища шк., 1984. - 280 с.

5. Расчеты надежности элементов машин при проектировании. - К.: Вища шк., 1988. - 167 с.

6. Попова Г. Н., Иванов Б.А. Условные обозначения в чертежах и схемах по ЕСКД: Справ. пособие. - Л.: Машиностроение, 1976. -208 с.

7. Градиль В.П. и др. Справочник по единой системе конструкторской до­кументации. - Харьков: Прапор, 1988. -255 с.

8. Зенкин А.С., Петко И.В. Допуски и посадки в машиностроении: Справоч­ник. - К.: Техніка, 1984. - 311 с.