3.3 Необходимые условия экстремума

В этом параграфе приводится необходимое условие миниму­ма функции /(ж) на некотором множестве допустимых решений

<5, которое является пересечением конечного набора подмножеств пространства Ка. Никаких других дополнительных ограничений на функцию /(ж) и множество <5 не накладывается. Поэтому необходимое условие, о котором идет речь, имеет чрезвычайно общий характер. Однако, при наличии дополнительных предпо­ложений, на его основе удается построить более содержательные варианты необходимых условий минимума для многих классов за­дач с нелинейными ограничениями в виде неравенств и равенств. Пусть С С Кп, ж, ж0 Є Кп, х ф 0.

Определение 3.3 Вектор ж - внутреннее направление для мно­жества О из точки жо, если существуют открытая окрест­ность Ух вектора ж и число є > 0 такие, что при всех х' Є Ух и е' Є (0, е) точка жо + е'х' принадлежит О.

Исходя из определения конуса и определения 3.3, легко дока­зать следующие свойства.

Свойство 3.1 Если вектор ж — внутреннее направление для множества О из точки жо и Ух — открытая окрестность век­тора х из определения 3.3, то

1) Для любого А > 0 вектор Аж является внутренним напра­влением для множества О из точки жо-

2) Любой вектор х' из окрестности Ух является внутренним направлением для множества О из точки жо-

3) Множество іпЮ не пусто.

Свойство 3.2 Если Ух — открытое выпуклое множество, то К' = {Аж' | А > 0, х1 Є Ух} — открытый выпуклый конус. Если х' Є К', то вектор х' — внутреннее направление для множе­ства О из точки жо-

Свойство 3.3 Если вектор ж — внутреннее направление для множества О из точки жо, то существует открытый выпуклый конус К, содержащий ж, и окрестность нуля В(0,е) такие, что х0 + К П Б(0, е) С О.

Свойство 3.4 Пусть К — открытый выпуклый конус, содер­жащий вектор х, и В(0, е) — окрестность нуля. Если жо + К П В(0,е) С О, то вектор х — внутреннее направление для мно­жества О из точки хо.

Рис. 5. Вектор х — внутреннее направление для О из точки жо

Таким образом, ж — внутреннее направление для множества О из точки жо тогда и только тогда, когда существует открытый выпуклый конус К, содержащий вектор ж, и окрестность нуля V такие, что жо + К П V С О (рис. 5).

Определение 3.4 Вектор ж - предельное направление для мно­жества О из точки хо, если для любой окрестности Ух точки х и числа е > 0 найдутся х' Є Ух и в' из интервала (0, е) такие, что хо + е'х' Є О.

Свойство 3.5 Если вектор ж — предельное направление для множества О из точки хо, то

1) для любого А > 0 вектор Аж также предельное направле­ние для множества О из точки жо-

2) для любого открытого конуса К, содержащего точку ж, и любой окрестности нуля V, среди точек множества хо + К (IV есть точки из множества О.

Свойство 3.6 Если для любого открытого конуса К, содержа­щего точку х, и любой окрестности нуля V, среди точек мно­жества хо + К П V есть точки из множества О, то вектор х — предельное направление для множества О из точки хо.

Свойство 3.7 Если вектор х — внутреннее направление для множества О из точки хо, то х также является и предельным направлением для множества О из точки хо.

правление для множества О из точки хо тогда и только тогда, когда для любого открытого конуса К, содержащего точку ж, и любой окрестности нуля V, среди точек множества Хо + К(IV есть точки из множества О (рис. 6).

Пусть С;, г=1,...,то+1, непустые подмножества простран­ства       Рассмотрим задачу:

 

Рис. 6. Вектор ж предельное направление для О из точки жо-

Из свойств 3.5 и 3.6 следует, что вектор ж предельное на-

т + 1

 

г = 1

Задавая множество допустимых решений <5 подобным обра­зом, мы получим необходимое условие минимума для задачи (3.3) в форме, удобной для применения к задачам с ограничениями в виде неравенств и равенств.

Пусть Со = {х | /(ж) < /(жо)}, Гг- - множество внутренних направлений для С; из точки жо, г = 0,1,..., т. Очевидно, что внутренние направления для С; из точки жо могут существовать (но не обязательно существуют) только в том случае, когда непу­сто множество іпЮі. Если множество Ті не пусто, то из Свойства

з. 1 следует, что оно является открытым конусом. Более того, ко­гда жо Є іпЮі, конус Ті совпадает с пространством Ка. Обозна­чим через Гт+1 - множество предельных направлений для Сгт+і из точки жо- Как следует из свойства 3.5, множество Гт+і также является конусом.

Теорема 3.6    (Необходимое условие экстремума) Если жо —

т + 1

оптимальное решение задачи (3.3), то Р| Гг- = 0.

г=0

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, то есть существует элемент е, принадлежащий множеству П™"^1!1;. Тогда по определению внутреннего направления для множеств О і, і = 0,.. .,т, существуют открытые конусы Кі, каждый из которых

СОДерЖИТ ВеКТОр Є, И ОКреСТНОСТИ НуЛЯ Уі Такие, ЧТО Жо + А'г'ПТ^' С

Є і для каждого і = 0,..., т. Поэтому

жо + (пТ=0кг) п (пТ=0Уі) с (пг=0сг).

Таким образом, существуют открытый конус К = П^о-^Ь содер­жащий вектор е, и окрестность нуля V = П^_о^' такие, что

хо + КПУС (п™0сг)-

Так как е также элемент и конуса Гт+і, то (жо+А'ПУ)ПСгт+і ф 0. Выберем ж' Є (жо + К П V) П Сгт+і. Тогда ж' Є Оі, і = 0,..., т + 1,

и, в частности, ж' Є Оо, то есть f(xl) < /(жо). Но это невозможно, так как жо — оптимальное решение задачи (3.3).