3.2 Выпуклые конусы

Особую роль в теории экстремальных задач при наличии огра­ничений играют выпуклые множества специального вида — вы­пуклые конусы. Ниже приводятся определения и основные свой­ства выпуклых конусов.

Определение 3.1 Конусом называется множество К, содер­жащее вместе с любой своей точкой ж все точки Хх при А > 0.

Если такое множество выпукло, его называют выпуклым кону­сом, если замкнуто - замкнутым конусом. Пересечение конусов является конусом. Все пространство Ка, как и любое подпро­странство, является конусом. Очевидно, что конусами являются множества {ж £ Ка \ Ах < 0} и {у £ Ка \ у = Ах, ж > 0}. Все эти конусы являются выпуклыми и замкнутыми множествами.

Определение 3.2 Множество К* = {а £ Ка | (а, ж) > 0,Уж £ К} назовем сопряженным к множеству К.

 

Легко проверить, что множество К* является конусом для любого множества К. Поэтому в дальнейшем К* будем называть сопря­женным конусом. Очевидно, что конус К* является выпуклым независимо от того, обладает этим свойством исходные множе­ство или нет (рис. 4).

Лемма 3.1 Пусть К произвольный конус. Тогда К* - замкну­тый конус.

Доказательство. Рассмотрим сходящуюся последовательность {ak}, ак £ К*. Пусть вектор а является пределом этой последова­тельности. Тогда из неравенств (ак1 ж) > 0 при любых к и х £ К и непрерывности скалярного произведения следует неравенство (а, х) > 0 при х £ К. Лемма доказана.

Лемма 3.2 Пусть К произвольный конус. Тогда К* = (К)*.

Доказательство. Включение (К)* С К* непосредственно сле­дует из определения сопряженного конуса. Обратное включение К* С (К)*, как и в лемме 3.1, следует из непрерывности скаляр­ного произведения. Лемма доказана.

Лемма 3.3 Пусть К произвольный конус. Если для любого х £ К выполняется неравенство (а, ж) > const, то а £ К*.

Доказательство. Предположим, что а ^ К*. Тогда для неко­торого жо £ К должно выполняться неравенство (а, жо) < 0. Из определения конуса получаем, что (а, Ажо) < 0 для любого А > 0 и (а, Ажо) —т- —со при А —> +оо. Поскольку по условию леммы (а, ж) > const для всех ж £ К, то получаем противоречие. Лемма доказана.

Лемма 3.4 Пусть К произвольный выпуклый конус. Тогда К** = К.

Доказательство. Легко проверить, что любая точка из К принадлежит К**. Действительно, возьмем произвольную точку ж из К. По определению сопряженного конуса (К)* для любой точки а £ (К)* справедливо (а, ж) > 0. Но это и означает, что ж содержится в конусе К**. Отсюда и леммы 3.2 вытекает, что ж принадлежит К**.

Покажем теперь, что никаких иных точек, кроме принадлежа­щих К, конус К** содержать не может. Допустим, что существу­ет жо £ К** \ К. Поскольку множество К выпукло и замкнуто, то по теореме 3.1 найдутся вектор а/Ои число е > 0 такие, что (а, ж) < (а, жо) — е при любых ж £ К. Тогда для вектора а = —а получим (а, ж) > const для ж £ К. Отсюда, в силу леммы 3.3, вытекает а £ К = К*. Следовательно, для жо как точки конуса К** должно выполнятся неравенство (а, жо) > 0. Так как конус К замкнут и, значит, включает точку 0, то, полагая ж = 0, получим (а, жо) < —е < 0. Противоречие. Лемма доказана.

Лемма 3.5 Если К\ и К2 - выпуклые конусы, то К\ + К2 -выпуклый конус и (К\ + К2)* =      П К\-

Доказательство. Выпуклость конуса К\ + К2 легко следует из определений.

Покажем, что выполняется включение (К\ + К2)* С К*[ П К\-Пусть а £ (К\ + К2)*. Это значит, что

(а, х\ + х2) > 0 при любых х\ £ К\, х2 £ К2.

Рассмотрим пары точек (Аж1, х2) и (х\, \х2). Тогда при А —> 0 из предыдущего неравенства получим

(а, х\) > 0, (а, х2) > 0 при всех х\ £ К\, х2 £ К2,

т. е. а £ Щ П А'з-

Покажем обратное включение. Пусть а £ К% П ЛТогда для любых Ж1 £ Ki,X2 £      выполнены неравенства

(а, Ж1) > 0, (а, ж2) > 0.

Складывая их, получим (а, х\ + х2) > 0. Следовательно, а при­надлежит конусу (К\ + К2)*. Лемма доказана.

Лемма 3.6 Если К\ и К2 - выпуклые замкнутые конусы, то

(к1пк2)* = щ + щ.

Доказательство. Рассмотрим конус [К\ П К2)*. В силу леммы 3.4 и замкнутости К\ и К2 он совпадает с конусом (К±* П К%*)*. По лемме 3.5 этот конус представим в виде ((К^ + К%)*)*. Нако­нец, применяя лемму 3.4, получим требуемое равенство. Лемма доказана.

Следующая теорема имеет первостепенное значение и потре­буется в дальнейшем при доказательстве необходимых условий экстремума. Она сводит условие пустоты пересечения выпукл­ых конусов к существованию нетривиального решения некоторо­го линейного уравнения для векторов из сопряженных конусов.

Теорема 3.5 (Дубовицкого - Милютина) Пусть К\,..., Кт -непустые выпуклые конусы.

1. Если П1^=1 Кг = 0; т0 существуют векторы аг- £ К*, не все равные нулю и удовлетворяющие равенству

2. Если существуют векторы аг- £ К*, не все равные нулю и удовлетворяющие равенству (3.2), то

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Рассмо­трим пространство (Ка)т, элементами которого являются векто­ры вида (х\,..., хт), где х{ £ Кп. По определению скалярного произведения векторов имеем

ах + ... + ат = 0.

 

кг п шк2 п ... п шк,

0

((ах,ат), (жь     хт)) = (ах, хх) + ... + (ат, хт).

Пусть

т

К= Кг х ... X Кт, р= {(х,...,х)\х £ Кп}.

Множество Р является диагональю пространства (Rn)m. Очевид­но, что множества К, Р — выпуклые конусы в (Ftn)m и К П Р= 0. В силу теоремы 3.3 существуют векторы ai,..., ат G Ftn, не все равные нулю, такие, что

(ai, ж) + ... + (ат, х) < (ai, xt) + ... + (ат, хт)

для всех х G Rn и Х{ G К{, г = 1,... ,т. Фиксируя х\,..., жг_1, жг_|_1, ..., хт получим (ai, Xi) > const для жг- G Ki- В силу леммы 3.3 это означает, что аг- G К*. С другой стороны, очевидно, что

(а\ + ... + ат, ж) < const для ж G

Это неравенство возможно лишь в том случае, когда

аг + ... + ат = О,

что и требовалось доказать.

Докажем вторую часть теоремы. Предположим, что суще­ствует вектор жG К\ П intK2 П ... П intKm. Тогда (а\ + ... +ат, ж ) = 0 и в силу определения ai выполнены неравенства (щ,х) > О для i = 1,..., т. Отсюда следует, что (аг-, ж) = 0 для i = 1,..., т. По условию не все аг- равны нулю, следовательно, по крайней мере два из них не нулевые. Следовательно, хотя бы один из них лежит в одном из сопряженных конусов К2, ■ ■ ■, К*т. Без ограничения общности можно считать, что это вектор а2. Тогда (а2,х) > О для всех ж G К2 и (а2,х) = 0. Так как жG intK2, то минимум линейной функции (а2, •), не равной тождественно нулю, достига­ется во внутренней точке К2. Получили противоречие. Теорема доказана.