Раздел 3. Задачи нелинейного программирования

В данном разделе рассматриваются задачи поиска экстремума произвольной функции на множестве точек, удовлетворяющих си­стеме ограничений, все или часть из которых задаются нелиней­ными функциями. Будут получены необходимые условия локаль­ного экстремума, которые являются следствием общей теории ло­кальных экстремумов. Для задач выпуклого программирования будут доказаны необходимые и достаточные условия глобального экстремума.

Теория локальных экстремумов применима для исследования оптимизационных задач как в конечномерном случае, так и для задач поиска экстремума в функциональных пространствах. Мы ограничимся конечномерными задачами. Условия экстремума для задач с ограничениями будут получены с помощью теоремы Ду-бовицкого-Милютина, для доказательства которой понадобятся элементарные сведения из теории выпуклых множеств. Крат­кое изложение этой теории дано в первых параграфах настоящего раздела.