4.2. Правило множників Лагранжа

Розглянемо задачу

У(и)->тіп,   иєи, (4.11)

£/ = {« є £/0 :£,.(«)<(>,  і = йп,

*,(«) = 0,  і=т + и), (4.12)

де І/о - задана множина (як правило простої структури, можливо и = Ея ), функції JІu\ gl(u\...,gs(u) визначені на Щ та приймають

скінчені значення.

Не виключена можливість, що відсутні або обмеження gi(u)<0     типу     нерівностей      (т = 0)     або обмеження

£,(и)=0 (« = т), або обидва види обмежень (т = 5 = 0, 17=1/^).

Зрозуміло, що і сама множина 11» може задаватися обмеженнями типу рівностей або нерівностей.

При виділенні множини потрібно, щоб І/о мала досить просту структуру, щоб легко (без трудомісткої обчислювальної праці) можна було б перевірити належність до неї и е ио, вказати деяку конкретну

точку з 1/0, щоб легко було проектувати точку на и0 . Часто в якості множини ІІо виступає

• невід'ємний октант Е* ;

• паралелепіпед;и0 = {и = (и1,...У)<=Еп:аі<иі<Ьі,і = 1,...,я} (4.13) де а,,^ -заданічисла аі <й(.;

При дослідженні задачі (4.11) - (4.12) в загальному випадку важливу роль грає функція Лагранжа

Ци,Л) = КЛи) + ЛіВі{и)+... + Л&(и) (4.14) змінних м = (м',...,м")єїУо,  X = (Хф,^,...А,5}єЕ3+і.

Теорема 1. Нехай и, е(7 - точка локального мінімума в задачі  (4.11) - (4.12) функції g\{u\■■■,gs{u) диференційовані

в точці и,, функції gm+l(u\...,gs(u) безперервно диференційовані в деякому околі точка Щ, II§ - випукла множина. Тоді існують числа Л£,...,Я*,такі,що

Ґ=(Х;,...Л*)^0, А,*>0, / = М, (4.15) (іи(и.,х),и-и.}>0,   \/иєІ/0, (4.16)

4йМ = 0>    ( = 1,...,і, (4.17)

Тут 4^,,ДТ)=Л;У'(и,)+Л,*гі,(и,) + ... + Я>;(и,) градієнт функції і(и,,Я*) змінної (/ = 1/0 в точці и = і/,.

Числа Л^,...,Я*, називають множниками Лагранжа. Відповідно до умови (4.15) ЛІ і множники, які відповідають обмеженням типу нерівностей, невід'ємні, а множники Я^+1,...,Я*, які відповідають обмеженням типу рівностей, можуть мати довільний знак.

(без доведення)

Задачу (4.11)- (4.12) називають регулярною (невиродженою) в точці н,, якщо існують множники Лагранжа Я* з координатою ЛІ > 0; в протилежному випадку задача є нерегулярною (виродженою).

Найпростіший клас регулярних задач одержують з (4.11), (4.12), коли т=$=0у и=ио. В цьому випадку обмеження типу

рівностей і нерівностей відсутні, тому ь{и,,Л)= Л0J{u)f умови (4.17) зникають; крім того з (4.15) випливає, що Л^ > 0, а тоді нерівність (4.16) перетворюється в умову^/^иДи—і*„)ії0 (иє(у). Регулярність задачі (4.11), (4.12) гарантується також і в тому випадку, коли и$=Еп і градієнти

${и,\   ієі = {і:\<і<я, §і(«,) = 0} лінійнонезалежні.

З теореми 1 випливає, що в задачі (4.11), (4.12) з гладкими функціями 1 («), %\{ц) на випуклій множині £/(, потрібно розв'язати систему

{Л,Пи) + Лі£(и) + ... + £(и),у-и)>0, Ун,гєС/0, (4.18) Яі^(«) = 0,і = ЇЯ (4.19) Іі{и) = 0,і = т + \,8,

и = иь,8і(и)й0,...,вя(и)*0, (4.20) Я^ОДОО^С-Д^ОД^О,

ВІДНОСНО Л + 5 + 1 ЗМІННИХ («',...,«", Л$, Л1,..., Ла ) = (иД).

Відзначимо, що якщо деякі (иД) одержані з системи (4.18) -

(4.20), то («,//• Я) для v// > 0 також задовольняють системі. Це

означає, що множники Лагранжа визначаються з точністю до сталого додатного множника. Тому множники Лагранжа можна пронормувати, наприклад

2 =%+%+... + X]=\. (4.21)

В регулярній задачі можна покласти Я0 = 1. А це означає, що систему   (4.18) - (4.20)   достатньо дослідити для двох значень =0 та    = 1.

Умови (4.18)- (4.20) разом з умовами нормування (4.21) ( чи = 1 в регулярній задачі) складають повну систему співвідношень

для визначення основних змінних  и = {и1 ,...,и") і відповідних

множників Лагранжа Я = (Яд, Я1,..., As ) .

Розглянемо випадок i/eint(/0 (наприклад U$ = Еп). Тут нерівність (4.18) еквівалентна рівностям

mjO)   am   зш+     ?gM= -

Єй1      ^ ди'    ^ ди' s Єй'

Умови (4.22)разомз (4.19), (4.21) складають систему n + s + l невідомими (і/, Я), розв'язавши її та відібравши серед розв'язків ті, які задовольняють нерівностями   (4.20) та включенню ueintt/f,,

одержимо набір (и, Я), який задовольняє необхідній умові оптимальності. Для з'ясування чи є точка и локальним мінімумом функції слід провести додаткові дослідження.

Відзначимо, що якщо функція L(u, Я ) змінної и є С/0 випукла на Uq, то відповідно до теореми 1.7 з умови  (4.16) випливає, що

L(u, Я ) досягає своєї нижньої грані на Щ в точці и*, і умови (4.15)-(4.17) можна записати в вигляді

я** о, лі>о,...,яі^о,

І(ш,Я*)<Д«,Я*), У«єІ/0; (4.23) Я*&(и») = 0,  і = \.....s.