4.1. Проекція точки на множину

Визначення 1. Нехай ї/деяка множина з Е„. Проекцією точки «є Еп називається найближча до и точка w множини U, тобто weU , яка задовольняє умові

|« - м\ = inf |« - v|. Проекцією точки и на множини U позначаємо Рц (и ) = со.

Оскільки  р{и,и) = іп(\и-^  - відстань від точки и до множини І/, то зрозуміло, що

р(и,ц) = \и-Ри(и)\<\иУуєіі, ЧиєЕп

Якщо і/є£/ , то очевидно, що Р(,(и) = и. Але проекція на множину існує не завжди.

Наприклад, якщо II = {«єЕ":|«|<і} - відкрита одинична куля

в Е„, то жодна точка и е І/ не буде мати проекції на цю множину.

Зрозуміло, що множина І/ замкнута, то будь-яка точка з М Є Еи

має проекцію на (у.

Проекція точки на множину може визначитися неоднозначно, (рис 4.1)

Але для випуклих множин така ситуація неможлива (рис. 4.2)

Теорема 1. Нехай V-випукла замкнута множина з Еп . Тоді: а)  будь-яка точка иєЕп має, і до того ж єдину, проекцію на цю множину;

Ь) для того щоб така и>еї/ була проекцією точки и на множину І/, необхідно і достатньо виконання нерівності (Рис. 3.2).

(и>-и,у-и>)>0, Ууєї/

При цьому якщо и- афінна множина, то можна писати (\v-ii, V-\у) = 0, \/уєіі (без доведення)