4. РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ НА УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ

Поряд задачами на безумовний мінімум існує багато задач, в яких змінні не можуть бути зовсім довільними, а повинні задовольняти деяким додатковим умовам. Іншими словами, змінні и повинні належати деякій множині U а Еп, причому U Ф Еп. В

цьому випадку мова йде про задачу на умовний мінімум.

В класичному математичному аналізі традиційно розглядається наступна задача на умовний екстремум.

Знайти екстремум функції J{u)

J(u) -> min;   u<=U = En (4.1) при умові, що змінні и задовольняють обмеженням

gi(«) = 0,...,g» = 0 (4.2)

при цьому припускається, що функції J(u), gj{u) визначені і мають

неперервні частинні похідні першого порядку на всьому просторі Еп . Обмеження (4.2) називаються обмеженнями типу рівностей. Таким чином, маємо задачу пошуку екстремуму функції J{tt) на множині

U= {и:иєЕп, gi(u) = 0,i = l, ...,s}.

Для пошуку екстремуму функції в цьому випадку застосовується метод множників Лагранжа, який полягає в наступному. Вводиться функція Лагранжа

L(u,1) = V(«) + (»), (4.3)

змінних (u1,...,u",A(l,Al,...,As) = (u,A) є £„+s+1.

Теорема 1. Нехай и, - точка локального мінімуму або максимуму функції J(u) на множині U, яка задасться обмеженнями (4.2), функції J(u), gi(u),...,gs(u)- неперервно диференційовані воколі точки и,. Тоді необхідно існують числа (я^, Х\,..., Я*) = Я, -Ф- 0, які називаються множниками Лагранжа, такі, що

^ии=Л;^ + £л^ = 0,  і = Х,...,п. (4.4)

(без доведення).

З теореми 1 випливає, що підозрілими на екстремум можуть бути    лише    ті    точки    и,    для    яких    існують множники

Я = (Я0,Я1,...,Яі)такі, що точка (и,Я) є Ен+г+1 задовольняє системі

(п + к) рівнянь:

. а/(н)   -Л. дВ)(и)        . —

(4.5)

та крім того, такі, що Я   0. Неважко переконатися, що якщо (V, Я) -

розв'язок системи (4.5), то (у,аЯ), для будь-якого аф(і також є розв'язком системи, тобто множники Лагранжа визначаються з точністю постійного множника.

Тому  множники  Лагранжа  зазвичай  підкоряються деякій додатковій умові нормування, наприклад

я^о, |я]2=£я?=і.

і=1

(4.6)

Якщо система (4.5) має розв'язки (V, Я) такі, що Х0 * 0, то задачу мінімізації J{u) при умовах  (4.2) називаються регулярною

(невиродженою) в точці V.

В регулярній задачі, умову нормування (4.6) можна замінити більш простою умовою Яц = 1. Неважко бачити, що для регулярності

задачі в точці у достатньо, щоб вектори g'l(v),...g's(v) були лінійнонезалежні, тобто, щоб рівність а^[(у) +... + asg's(v) = 0 виконувалась тільки для «[=... = as = 0.

Умови  (4.5) разом з умовою нормування  (4.6) (або А^ = 1)

складають систему рівнянь з невідомими (и,Л). Розв'язавши цю

систему знайдемо точки v є U підозрілі на екстремум, і відповідні

множники Лагранжа    Ф 0 . Для з'ясування питання, чи будуть точки

локальним максимумом або мінімумом, потрібно провести додаткові дослідження з залученням других похідних функції Лагранжа по змінній и.

Теорема    2.   Нехай   функції   J(u), giW),...,g(u) двічі диференційовані в точці

v є U = {и є Е„:gl(«) = 0,...,gs(«) = 0};

точка (v,Zv) задовольняє умовам (4.5), (4.6); квадратична форма

4и(уД)й,А>0  (<0), (4.7)

для всіх h, для яких

(J(v\h}<0    {>0\   (g;{v\h) = 0, (4.8) i=1,j;A#0.

Тоді в точці v функція j{u) на U має строгий локальний мінімум (максимум), (без доведення).

Приклад. Нехай потрібно на п- вимірній одиничній сфері U = \ и є Ея : |«|2 = (и,    = і| знайти точку, сума квадратів відстаней

від якої до m заданих точок щ,...,ит е Ея була б мінімальною, тобто розв'яжемо задачу

 (4.10)

7(ы) = 2("-",)2 ->тш (4.9)

за умови (и, и} = 1. Для розв'язання задачі складемо функцію Лагранжа

і{и,і)=^{и)+л((и,и)-\). Система (4.5) буде мати вигляд

Ьи (и, і)= Ло • 2т (и - щ)+ 2 Ям = 0 >,«> = !

1 т

Очевидно, для = 0 система (4.10) не має розв'язку з (Я0,Я)^0 , тому можемо прийняти Я0=1. Тепер з (4.10) для и0 Ф 0 одержимо дві точки У[ — и0 /|н0| та V, = -ы0 /|ы0| , підозрілі на мінімум і відповідні їм множники Лагранжа Я, = т ()ы0| - і) та Л2=т{-\и0\-І).

Матриці других похідних функції Лагранжа в знайдених точках (уцЯ, ) , Іу2,&г) дорівнюють відповідно 2|ы0|тЕ та -2|ы0|тЕ.

ЗВІДСИ ЗрОЗумІЛО, ЩО В ТОЧЦІ V; ДОСЯГаЄТЬСЯ ЛОкалЬНИЙ МІНІмуМ, а У2 -

локальний максимум функції ./(н) за умови |и| = 1. Оскільки II-

компаЕСтна множина, У(и) неперервна на (у, то на (у функція досягає свого глобального мінімуму та максимуму. Але точки глобального екстремуму, зрозуміло, задовольняють системі (4.10), яка має лише

два розв'язки, для     #0. А значить, У1 =щ/аіА - точка глобальногомінімуму, vz = —и0 /\и0\ - глобального максимуму для щ * 0. Точки

чином и. = и0 /|н0|, для «о^О.

Розглянемо випадок, коли и0 = О.Тоді розв'язком системи

(4.8) є точка (у, Лц, Я), де     = 1, Я = —т, а V - будь-яка точка, для

якої  |v| = 1. Це означає, що з необхідних умов не вдалося вилучити

ніякої корисної інформації - всі точки одиничної сфери залишилися підозрілими на екстремум. Для и0 = 0 і всіх и є U маємо

4")=ZH-2<"-"i>+h2)=m-2u'2"(- +ІН =

1=1 \      1=1      / і=1

т 2

= т -У^|»,| =const.

і=1

Таким чином, для щ = 0 задачі стає тривіальною: /(«)= соду/

на (/, тобто можна сказати, що в усіх точках и е U функція досягає свого мінімуму.

Відзначимо, що класичний метод дослідження задачі на умовний та безумовний екстремум можна широко застосовувати в тих випадках, коли достатньо просто вдається обчислити всіх підозрілі на екстремум точки і відібрати з них точки локального мінімуму чи максимуму. В загальному випадку пошук точок, підозрілих на екстремум являє собою досить серйозну задачу, яка за складністю порівняна з початковою задачею на екстремум.