4.3. Ефективна маса електронів. Поняття про дірки

Для описання поводження електрона в кристалі необхідно знати форму дисперсійних поверхонь. Але досконала їх форма не завжди відома та виявляється не завжди і потрібна. Достатньо сформульова­них вище трьох загальних властивостей. Вияснимо, як впливають ці властивості на поводження електрона в кристалі?

Дня вільного електрона дисперсійна крива описується рівнян­ням (4.1). Візьмемо з цього рівняння похідну по хвильовому числу к і знайдемо його

<1Е    Й2. .     т <ІЕ

— = —к    =>     к = —--. (4.2)

ак  т й2 ак

„  -. га (Ш „

Тоді імпульс електрона р - пк —---, а його швидкість

й ак

„ = ±.£. (4.3) т ак

Нехай на електрон з боку електричного чи магнітного поля діє деяка сила. Знайдемо прискорення, взявши з виразу (4.3) похідну за часом

і а2Е   і а2Е ак

:-----------. (4.4)

й Дс-а   й ак2 а

З другого боку по другому закону Ньютона імпульс сили дорівнює зміні імпульсу Т<И = ар, або, враховуючи, що р = п к, одержуємо

Нк Р

Р-аі = й-ак     =>      — = -. (4.5)

а п

т а2Е Б

Підставимо (4.5) в (4.4) а = ---т- =-,

%    ак Шефде ефективна маса тЄ(Ь - —=—. (4.6)

* (ГЕ

дк2

Ефективна маса враховує вплив силового поля кристалу на рух у ньому електронів і визначається другою похідною із дисперсійної кривої по хвильовому числу к. Проаналізуємо залежність (4.6) в особ­ливих точках дисперсійних кривих. Видно, що знак і величина Шеф визначається другою похідною.

а) Поблизу дна зони дозволених значень енергій дисперсійна крива має мінімум. Як відомо, у цьому випадку друга похідна із функції по­зитивна. Отже І Шеф > 0.

б) Біля стелі зони дисперсійна крива має максимум, і друга похідна функції негативна. Отже і т^ф < 0 ! Це означає, що прискорення елек­трона в кристалі протилежне тому, яке мав би вільний електрон. На­приклад, в електричному полі вільний електрон рухається проти на­пруженості, а в кристалі у випадку т^ф < 0 по полю. Причиною цього є досить велике внутрішнє поле кристалу, яке переважає прикладене зовнішнє поле. Тому для спостерігача здається, що електрон веде себе як позитивна частинка з позитивною ефективною масою. Таку части­нку назвали діркою. У зв'язку з цим були введені поняття ефективної маси електронів т„ і дірок тр.

в) В точці перегину, тобто поблизу середини зони дозволених зна­чень енергії, друга похідна дорівнює нулю, а ефективна маса прямує до нескінченності. Це випадок, коли сила зв'язку електрона настільки велика, що зовнішнє поле не може привести електрон у прискорений рух.

г) Ефективна маса як електронів, так і дірок може бути більшою, або меншою від маси спокою вільного електрона т. Наприклад, для гер­манію тп=0,56т, тр=0,59т; для кремнію тп=1,08т, тр=0,37т. Це зумовлено впливом внутрішнього поля кристала. У випадку коли воно допомагає дії зовнішньої сили ефективна маса менша від маси спокою вільного електрона, а коли протидіє - більша.