4.2 Поняття про зони Бріллюена

Згідно з гіпотезою де Бройля електрон має хвильові властивості

з довжиною хвилі X — —, де Ь - стала Планка, р = ти - імпульс. Кіне-

Р

2        2  2 2

тична енергія Ь =-=-=-. Імпульс можна виразити че-

2       2т 2т

,    2% її   2я-Ь „  . .

рез хвильове число к = —.     р = — =-= пк . Тоді кінетична

X      У   X 2п-Х

енергія буде Е=-к . (4.1)

Ця залежність енергії від хвильового числа називається дисперсійною кривою. Для вільного електрона вона уявляє квадратну параболу.

Якщо вільний електрон рухається в кристалі, на нього діє пері­одичне поле атомів. Розв'язуючи рівняння Шредінгера для електрона, який рухається в періодичному полі, вимога нерозривності хвильової функції та її перших похідних приводить до того, що дисперсійна крива Е(к) (рис.4.4) зазнає розривів при значеннях хвильових чисел к = ±п-я/а» де п = 1,2,3..., а - період поля (стала кристалічної ґратки).

Пунктиром показана дисперсійна крива вільного електрона, суціль­ною - електрона в кристалі. Інтервали значень хвильового числа к, в межах яких енергія змінюється неперервно, а на границях зазнає роз­риву, називаються зонами Бріллюена. 1-а зона простирається від -я/а до +я/а, 2-а від -2тг/а до -я/а і від + я/а до +2 ті/а і тд. На рис.4.4 пока­зані дисперсійні криві і зони Бріллюена для лінійного одноатомного ланцюга. У трьохмірному випадку зони Бріллюена уявляють собою досить складні замкнуті поверхні - багатогранники, вставлені один в один. їх називають дисперсійними поверхнями

Відмітимо загальні властивості границь зон Бріллюена і зон до­зволених значень енергії:

а) Дно зони дозволених значень енергії відповідає мінімуму диспер­сійних поверхонь (зон Бріллюена);

б) Стеля зони дозволених значень енергії відповідає максимуму дис­персійних поверхонь (зон Бріллюена).

в) В межах зони Бріллюена між мінімумом і максимумом завжди є точка перегину.