3.6 Теплопровідність кристалічної ґратки

Явище теплопровідності заключається в передачі теплоти від більш нагрітих до менш нагрітих частин системи. У фононній моделі твердого тіла передача теплової енергій' здійснюється фононами. Чим більша температура тим більша енергія і концентрація фононів. За рахунок наявності градієнта концентрації відбувається .дифузія" фононів у напрямку зменшення температури, тобто в напрямку зменшення енргії фононів. Ангармонічний характер коливань атомів твердого тіла являється причиною взаємодії одна з одною негармонічних пружніх хвиль. Або другими словами, фонони розсіюються на фононах аналогично зіткненню між молекулами газу. Фонон-фононна взаємодія викликає появу так званого теплового опору, і чим він більший, тим гірше передається тепло. За відсутності такої взаємодії тепло передавалося б із швидкістю звуку.

Знайдемо коефіцієнт теплопровідності і проаналізуємо його залежність від температури, скориставшись аналогією фононної моделі твердого тіла і молекулярного газу. Рівняння теплопровідності має вигляд (див.ЧІ, розд.6.12)

q = -X — AS, (3.22)

де я - теплова енергія, яка переноситься за одиницю часу через одиничну   площу,    перпендикулярну   до    напрямку градієнта ОТ

температури —, ДЭ - площа, х — коефіцієнт теплопровідності

Х = ^Р^фС. (3.23)

Тут: р - молярна маса, р - густина, о - швидкість руху фононів, тобто швидкість звуку, Хф - довжина вільного пробігу фононів, С - молярна теплоємність твердого тіла. Із усіх цих величин залежними від температури є теплоємність і довжина вільного пробігу, яка, подібно до вільного пробігу молекул газу, обернено пропорційна концентрації фононів.

Таким чином, Х(Т) - X, (Т)С(Т) - . (3.24)

Пф(Т)

Область високих температур Т»9Е. У цій області енергія фононів досягає свого максимального значення к0о. Енергію гратки можна знайти як енергію усіх фононів, а враховуючи (3.11), можна записати

= ЗЯТ = ПфУкЄ0    , звідки ЗРТ

П* =-^- ~Т (3.25)

концентрація фононів пропорційна температурі. Теплоємність, згідно з (3.12), не залежить від температури. Таким чином, одержуємо, що коефіцієнт теплопровідності Рисунок 3.7 обернено пропорційний температурі рис. 3.7.

В області низьких температур Т<6о енергія гратки, згідно з (3.13) пропорційна Т4, а енергія фононів Еф = кТ про­порційна температурі. Тому концентрація фононів пропорційна Т3. Теплоємність також ~ Т3. Тому коефіцієнт теплопровідності від тем­ператури не залежить.

В області наднизьких температур Т«9г. концентрація фононів стає настільки малою, що вони уже між собою не взаємодіють, а розсію­ються тільки на поверхні кристалу. (Цей стан аналогічний стану ваку­уму для газів). Теплоємність у цій області, а отже і коефіцієнт теплопровідності ~ Т3.