3.5 Теплове розширення твердих тіл

Зміна геометричних розмі­рів твердих тіл при зміні темпе­ратури називається тепловим розширенням. Для пояснення природи цього явища розгляне­мо залежність потенціальної енергії и взаємодії між атомами від відстані г між ними (рис. 3.4,суцільна крива 2). Вона відображає крайні положення Г] і гг частин­ки, яка здійснює ангармонічні (негармонічні) коливання відносно по­ложення рівноваги га при температурі відмінній від ОК. Ця крива аси­метрична відносно лінії г — г0. Ліва вітка іде крутіше, ніж права. Тому

відхилення   частинки   вліво   Х[ = г0 — Г[   менше,   ніж вправо

х2 — г2 -г0 . Середня відстань г (точка А) більша від рівноважної

г0. А це й означає розширення кристалу. У випадку протилежної

асиметрії кривої потенціальної енергії (рис.3.5) кристал з ростом температури буде стискуватись. Для кількісного описання явища теплового розширення лінійного наближення залежності сили Б Рисунок3.5 взаємодії від зміщення х-г-г0,

яке приймається в законі Гука, в теорії теплоємності, тепер уже недо­статньо. Дійсно, в лінійному наближенні сила Б = —|3х, а потенціаль­на енергія

х х г. 2

и(х) = - [Р(х) ■ <іх = |рх - ах = ^- (3.15) о о 2

уявляє собою квадратну параболу (рис. 3.4, крива 1), симетричну від­носно положення рівноваги. Тому середня відстань не змінюється. Отже, в ряді розкладення сили по степеням х враховується і квадрати­чний член з коефіцієнтом ангармонічності g

Р(х) = -|3х + §х2. (3.16) Потенціальна енергія, яка знаходиться аналогічно (3.15),

и(х)=т~_Іг (ЗЛ7)

описує асиметричну криву 2 рис. 3.4. Дійсно, знак другого доданку (3.17) змінюється у відповідності із знаком х. При відхиленні влівох<0 і графік іде вище квадратної параболи, при відхиленні вправо х>0 і крива іде нижче параболи.

Знайдемо коефіцієнт а теплового розширення, як відносну зміну геометричного розміру при зміні температури на 1К

« = (К-1). (3.18)

г0 ОТ

Середнє зміщення х знаходимо усереднивши силу у виразі (3.16). Яс­но, що середнє значення сили дорівнює нулю

F(x) = -px + gx2 =0. (3.19)

Середнє значення потенціальної енергії дорівнює половині повної енергії гратки, тобто

щх)^Ж-^Ж. (3.20) 47     2       2      3_     2 ^ '

Тут враховано, що середнє значення х3 - 0, так як в процесі коли­вань х змінює знак. Із (3.20) знаходимо х -—^-, підставляємо в — а

(3.19). Одержуємо х = -^Я-гр ■ Тодііз (318) маємо

^х__|_ ^ГР.__|_ с

а = — ~ = -7Т■^Г = -7Т С ~ С ■ (3.21)

Отже температурна залежність коефіцієнта теплового розширення аналогічна рис.3.1 температурній    залежності теплоємності Т   гратки. Для більшості металів коефіцієнт

теплового розширення знаходиться в межах