3.3. Дебасвська теорія теплоємності твердих тіл

Квантова теорія теплоємності твердих тіл була розроблена у 1912 році німецьким фізиком Дебаєм в рамках фононної моделі твер­дого тіла. Термодинамічна енергія кристалу складається із енергії но­рмальних коливань. Знайдемо коливальну енергію Еф кристалічної гратки як енергію усіх фононів із врахуванням розподілу по частотам (енергіям), аналогічно, як це робилося в розділі 2.5 (див. чисельник формули (2.14))

Еф = |йш-ґБ_Е(о>) 8(<о)• <1а>. (3.8)

Підставимо в (3.8) вирази (3.6) і (3.7), а також замінимо верхню межу інтегрування з оо на ©о, тому що більшої частоти коливань у кристалі не виникає. Одержимо

Для взяття інтегралу виконаємо такі заміни:

ЙСО кТ      ,      кТ. л л

— = х; о) = —х; <ко = —ах; при (о = 0; х = 0; кТ й Й

_ Й0)о _ к0о _ 0О

присо=0)0 хверх=-^

кТ

Після підстановок і спрощень, враховуючи, що Й0)о = к90, одержу­ємо

е0 е0

Е   = ї ^.9К-9Щт.ах=9№-^|вІ)ї^-. (3.10) 19    і е*-1      (Ьо0)3 І е*-1

' тЛ\   І х3ах о

Інтеграл (3.10) і молярну теплоємність знайдемо для двох температур­ой гр

них інтервалів, врахувавши, що Ы=КД, а С = .

аТ

Область високих температур Т»0о. Для таких температур по>«кТ,   тобто      х« 1,   внаслідок   чого   в   степеневому ряді

е  = 1 + х + Н— можна обмежитись першими двома членами, так

як наступні набагато менші від них. Тоді енергія гратки

( Т V т

Егр=9ЫАк —   0О Гх2ах=ЗМАкТ = ЗгП\ (3.11) Удо) 0

а молярна теплоємність

С =—^--ЗЯ. (3.12)

от ^ '

Таким чином, в області високих температур теорія Дебая дає відомий закон Дюлонга і Пті.

Область низьких температур Т«9о. Для таких температур

верхню межу       інтеграла (3.10) можна замінити нескінченністю.

»   3 л 4 Г X (ЇХ я

Враховуючи, що |-— — є табличним, одержуємо

4

в 15

с = ^=12Лтз^з ОТ 5Є0

В області низьких температур молярна теплоємність пропорційна ку­бу абсолютної температури (3.13). Це закон Дебая (див. рис.3.1), який добре узгоджується з експериментом .