3.2 Нормальні коливання кристалічної граткн. Спектр цих коливань. Поняття про фонони. Фононна модель твердих тіл

За рахунок теплової енергії атоми кристалу здійснюють коли­вання навколо свого положення рівноваги. Причому за рахунок сил зв'язку між атомами коливання передаються від одного атома до ін­шого. Таким чином цей колективний рух атомів охоплює увесь крис­тал у вигляді пружних коливань різних частот і довжин хвиль. Знай­демо частоти і довжини хвиль цих нормальних коливань.

Розглянемо одномірний лан­цюг довжиною Ь із N атомів, від­стань між якими а. Вияснимо, які довжини хвиль можуть в ньому ви­никати. Як видно з рис.3.2 можливий цілий набір довжин хвиль від 2Ь до 2ЬЛЧ, причому існує мінімальне зна­чення Хпди = = 2а. Цій мініма­льній довжині хвилі відповідає мак­симальна циклічна частота коливань, яка названа частотою Дебая,

Рисунок 3.2

■^=21-

2тт   тії) „ ^

«тах=«0=7-= —• (3-4)

Л-тіп а

У формулу (3.4) входять характерні для кожної речовини вели­чини: а - міжатомна відстань і і) - швидкість поширення пружних ко­ливань, тобто швидкість звуку. Тому для кожної речовини частота Де-бая різна і являється її характерним параметром. Наприклад, для міді а=3,610шм,о = 3550м/с, аю= 3-Ю13Гц.

Для більш наглядної оцінки частоти Дебая вводиться характери­стична температура Дебая при якій теплова енергія к*0в дорівнює енергії коливань псов, тобто

90=^, (3.5) к

* її

де п =--стала Планка.

Виходячи із означення, слід відмітити, що температура Дебая це така температура, вище якої в кристалі збуджуються всі можливі час­тоти коливань. При менших температурах теплового збудження за­знають низькочастотні коливання, а високочастотні ні. По мірі зрос­тання температури частотна межа збуджених і не збуджених коливань зростає, наближаючись до свого граничного значення - частоти Дебая. Таким чином температура Дебая поділяє температурну шкалу на об­ласть низьких (Т<9о) і високих (Т>9о) температур, в яких властивості речовин суттєво різні. В табл.3.1 приведені значення температури Де­бая для деяких речовин. Таблиця.3.1

Речовина

Ре

А1

Бі

(їе

9о, К

467

418

658

366

При певній температурі в кристалі збуджуються коливання з різними частотами і енергіями. Порція (квант) енергії її©, на яку змі­нюється енергія нормальних коливань кристалічної гратки називаєть­ся фононом. Ці квазічастинки введені для спрощення фізичної моделі твердого тіла. По фононній моделі тверде тіло розглядається як посу­дина, обмежена поверхнею кристалу, що заповнена фононним газом,який має властивості бозонів. Спін фононів дорівнює нулю. Це дає можливість застосувати до твердого тіла математичний апарат фізич­ної статистики з використанням функції розподілу Бозе-Ейнштейна

Ґб-е(<») = -^—• (3-6) екТ -1

Густина квантових станів для фононів, як функція циклічної частоти, має вигляд

2

Є(С0)=9К^-. (3.7)